2013年中考数学复习课件：第六部分 考点冲刺五 解答题――三角形与四边形

考点冲刺五解答题——三角形与四边形三角形的性质与判定图K5－11．(2012年云南)如图K5－1，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过点M作ME∥BC交AB于点E.求证：△ABC≌△MED.证明：∵MD⊥AB，∴∠MDE＝∠C＝90°.∵ME∥BC，∴∠B＝∠MED.∴△ABC≌△MED(AAS)．在△ABC与△MED中，∠B＝∠MED，∠C＝∠EDM，DM＝AC，2．(2010年江苏南京)如图K5－2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，OABC≌△BAD.求证：(1)OA＝OB；(2)AB∥CD.图K5－2证明：(1)∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB＝∠DBA.∴OA＝OB.(2)∵△ABC≌△BAD，∴AC＝BD.又∵OA＝OB，∴AC－OA＝BD－OB，即OC＝OD.∴∠OCD＝∠ODC.∴∠CAB＝∠ACD.∴AB∥CD.∵∠AOB＝∠COD，∠CAB＝180°－∠AOB2，∠ACD＝180°－∠COD2，图K5－33．(2012年广东珠海)如图K5－3，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上)，A′B′交AD于点E，连接AA′，CE.求证：(1)△ADA′≌△CDE；(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线．证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°.∴∠A′DE＝90°.根据旋转的方法，得∠EA′D＝45°，∴∠A′ED＝45°.∴A′D＝DE.在△AA′D和△CED中，AD＝CD，∠ADA′＝∠EDC，A′D＝ED，∴△ADA′≌△CDE.(2)∵根据旋转，得AC＝A′C，∴点C在AA′的垂直平分线上．∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAE＝45°.∵AC＝A′C，CD＝CB′，∴AB′＝A′D，在△AEB′和△A′ED中，∠EAB′＝∠EA′D，∠AEB′＝∠A′EDAB′＝A′D，，∴△AEB′≌A′ED.∴AE＝A′E.∴点E也在AA′的垂直平分线上．∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．4.画图、证明：如图K5－4，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，OB上．(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD，OP相交于点E，F；连接OE，CF，DF；(2)在所画图中，①线段OE与CD之间有怎样的数量关系：_______；②求证：△CDF为等腰直角三角形．图K5－4解：(1)根据题意：画∠AOB的平分线OP，作线段CD的垂直平分线EF.(2)①OE＝12CD.②方法一：∵EF是线段CD的垂直平分线，∴FC＝FD.∵△COD为直角三角形，E为CD的中点，∴OE＝CE＝12CD，∴∠COE＝∠ECO.设CD与OP相交于点G，∵∠EOF＝45°－∠COE，∠EFO＝90°－∠EGF＝90°－(45°＋∠ECO)＝45°－∠ECO，∴∠EOF＝∠EFO，EF＝OE.又CE＝OE＝EF，∠CEF＝90°，∴∠CFE＝45°，同理∠DFE＝45°.∴∠CFD＝90°，△CDF为等腰直角三角形．方法二：过点F作FM⊥OA，FN⊥OB，垂足分别为M，N.∵OP是∠AOB的平分线，∴FM＝FN.又EF是CD的垂直平分线，∴FC＝FD.∴Rt△CFM≌Rt△DFN(HL)，∠CFM＝∠DFN.在四边形MFNO中，由∠AOB＝∠FMO＝∠FNO＝90°，得∠MFN＝90°，∴∠CFD＝∠CFM＋∠MFD＝∠DFN＋∠MFD＝∠MFN＝90°.∴△CDF为等腰直角三角形．四边形的性质与判定5．(2012年江苏徐州)如图K5－5，C为AB的中点．四边形ACDE为平行四边形，BE与CD相交于点F.求证：EF＝BF.图K5－5证明：∵四边形ACDE为平行四边形，∴ED＝AC，ED∥AC.∴∠D＝∠FCB，∠DEF＝∠B.又∵C为AB的中点，∴AC＝BC.∴ED＝BC.∴△DEF≌△CBF.∴EF＝BF.在△DEF和△CBF中，∠D＝∠FCB，ED＝BC，∠DEF＝∠B，6．已知：如图K5－6，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的中点．(1)求证：四边形ADEF是菱形；(2)若AB＝24，求菱形ADEF的周长．图K5－6(1)证明：∵D，E分别是AB，BC边上的中点，∴DE∥AC且DE＝12AC.同理EF∥AB，EF＝12AB.∴四边形ADEF是平行四边形．又∵AB＝AC，∴EF＝DE.∴四边形ADEF是菱形．(2)解：AB＝24，则AD＝12，∴菱形ADEF的周长12×4＝48.7．(2010年广西崇左)如图K5－7，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．图K5－7(1)证明：如图D72，∵四边形ABCD是矩形，图D72∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH.∴四边形EFGH是矩形．(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO.∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43，∴矩形ABCD的面积＝4×43＝163(cm2)．(1)求证：EF＝FM；(2)当AE＝1时，求EF的长．图K5－88．(2012年宁夏)如图K5－8，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM，∠EDM＝90°.∴∠EDF＋∠FDM＝90°.∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°.在△DEF和△DMF中，DE＝DM，∠EDF＝∠MDF，DF＝DF，∴△DEF≌△DMF(SAS)．∴EF＝MF.(2)解：设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝1，且BC＝3，∴BM＝BC＋CM＝3＋1＝4.∴BF＝BM－MF＝BM－EF＝4－x.∵EB＝AB－AE＝3－1＝2.在Rt△EBF中，由勾股定理，得EB2＋BF2＝EF2，即22＋(4－x)2＝x2，解得x＝52，∴EF＝52.9．如图K5－9，在四边形ABCD中，AD＜BC，对角线AC，BD相交于点O，AC＝BD，∠ACB＝∠DBC.(1)求证：四边形ABCD为等腰梯形；(2)若点E为AB上一点，延长DC至点F，使CF＝BE，连接EF交BC于点G，请判断点G是否为EF的中点，并说明理由．图K5－9(1)证明：如图D73，∵∠ACB＝∠DBC，图D73∴OB＝OC.∵AC＝BD，∴OA＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∵∠DOC＝∠OAD＋∠ODA＝∠OBC＋∠OCB，∴2∠OAD＝2∠OCB.∴∠OAD＝∠OCB.∴AD∥BC.∵AD＜BC，∴四边形ABCD为梯形．∴△ABC≌△DCB.在△ABC和△DCB中，AC＝BD，∠ACB＝∠DBC，CB＝BC，∴AB＝CD.∴四边形ABCD为等腰梯形．(2)解：点G是EF的中点．理由：过点E作EH∥CD交BC于点H.∴∠EHB＝∠DCB，∠EHG＝∠GCF.∵梯形ABCD为等腰梯形，∴∠EBH＝∠DCB.∴∠EBH＝∠EHB.∴EB＝EH.∵EB＝CF，∴EH＝CF.∴△EHG≌△FCG.∴EG＝FG，即G为EF中点．在△EHG和△FCG中，∠EHG＝∠FCG，∠EGH＝∠FGC，EH＝CF，