2013年高考数学总复习 5-3 平面向量的数量积课件 新人教B版

第三节平面向量的数量积重点难点重点：平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示．难点：数量积的性质和平面向量的长度、夹角问题．知识归纳一、向量数量积的定义1．向量a与b的夹角已知两个非零向量a、b，过O点作OA→＝a，OB→＝b，则θ＝∠AOB(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝π2时，a与b垂直，记作a⊥b；当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．两非零向量a与b夹角的范围：0≤〈a，b〉≤π.零向量与任意向量垂直．2．向量在轴上的正射影已知平面向量a和轴l，过轴l上点O，作OA→＝a，由A向l作垂线，垂足为A1，则OA1→称作a在轴l上的射影．该射影在轴l上的坐标称作a在轴l(方向)上的数量，记作al.∴al＝_______(其中θ为a与轴l的正向所成的角)当θ为钝角时，al0；当θ为直角时，al＝0；当θ为锐角时，al0，当θ＝0°时，al＝|a|.当θ＝180°时，al＝－|a|.|a|·cosθ3．向量a与b的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.4．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积．|a||b|cosθ二、平面向量数量积的性质1．a⊥b⇔a·b＝0.2．当a与b同向时，a·b＝____；当a与b反向时，a·b＝________；特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.3．|a·b|≤|a|·|b|.|a||b|－|a||b|三、向量数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．3．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.四、平面向量数量积的坐标表示1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则a·b＝__________，cosθ＝a·b|a|·|b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.2．设a＝(x，y)，则|a|＝_______.x1x2＋y1y2x2＋y23．若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|a|＝x1－x22＋y1－y22，4．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a、b都是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0⇔_____________.x1x2＋y1y2＝0误区警示1．若a·b＝0，a≠0不一定有b＝0，因为当a⊥b时，总有a·b＝0.2．对于实数a、b、c，当b≠0时，若ab＝bc，则a＝c.但对于向量a，b，c，当b≠0时，由a·b＝b·c却推不出a＝c.因为由a·b＝b·c得b·(a－c)＝0，只要a－c与b垂直即可．3．数量积不满足结合律，即对于向量a、b、c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立，这是因为a·b与b·c都是实数．(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，而c与a却未必共线．4．若a，b＝θ，则a在b方向上的射影为|a|·cosθ，b在a方向上的射影为|b|·cosθ，应注意区分．力OF→在OS→方向上的分力OF→′＝|OF→|cosθ·OS→|OS→|，是与OS→共线的向量，不要和射影|OF→|cosθ相混淆．5．a·b0和a与b夹角为锐角不等价．∵当b＝a≠0时，夹角为0，a·b0；同样a·b0不等价于a与b的夹角为钝角．1．平行与垂直问题常常转化为两个向量的平行与垂直．2．求向量模时，主要利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法．[例1]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求AB→·BC→.分析：求数量积时，除记准公式外，关键是找准两向量的夹角．向量的数量积解析：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴BC＝5，∴cos∠ABC＝513.∵〈AB→，BC→〉＝π－∠ABC，∴cos〈AB→，BC→〉＝－cos∠ABC＝－513，∴AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cos〈AB→，BC→〉＝13×5×(－513)＝－25.点评：找错向量的夹角是计算数量积时易出现的错误，牢记向量夹角是两个“方向”的夹角．(文)(2011·山东烟台一模)在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(AB→＋AC→)·AD→的值为________．解析：由题意可知，AD＝12BC＝222＝2，(AB→＋AC→)·AD→＝2AD→·AD→＝2|AD→|2＝4.答案：4(理)在菱形ABCD中，若AC＝2，则CA→·AB→等于()A．2B．－2C．2或－2D．与菱形的边长有关解析：AB→＋CA→＝CB→，设菱形边长为a，由|AB→|2＋2AB→·CA→＋|CA→|2＝|CB→|2得a2＋2AB→·CA→＋4＝a2.∴AB→·CA→＝－2.答案：B[例2](文)已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是()A．[－4,6]B．[－6,4]C．[－6,2]D．[－2,6]向量的模解析：∵|a＋b|＝|(3，k＋2)|＝k＋22＋32≤5，∴(k＋2)2≤42，∴－6≤k≤2.∴选C.答案：C(理)(2010·四川文)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC→2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝()A．8B．4C．2D．1解析：由|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|两边平方得AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→＝AB→2＋AC→2－2AB→·AC→，即AB→·AC→＝0，所以AB→⊥AC→，又由BC→2＝16得|BC→|＝4，所以|AM→|＝2.答案：C(文)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点．若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|等于()A．9B．6C．4D．3解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(1,0)，则由FA→＋FB→＋FC→＝0得x1－1＋x2－1＋x3－1＝0，即x1＋x2＋x3＝3.而|FA→|＋|FB→|＋|FC→|可转化为A、B、C三点到准线的距离，即|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝d1＋d2＋d3＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.答案：B(理)已知在平面直角坐标系中，A(－2,0)、B(1,3)，O为原点，且OM→＝α·OA→＋β·OB→(α＋β＝1)，若N(1,0)，则|MN→|的最小值是()A.322B.122C.92D.32解析：由OM→＝α·OA→＋β·OB→(α＋β＝1)知M，A，B三点共线，可以求得AB所在直线方程为y＝x＋2，所以|MN→|的最小值就是点N到直线AB的距离d＝32＝322.答案：A点评：将条件α＋β＝1转化为M、A、B共线，及将|MN→|转化为点N到直线AB的距离是解题的关键.[例3](2011·北京海淀期中)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为()A．60°B．90°C．120°D．150°向量的夹角解析：由已知得a·b＝|a|·|b|cos120°＝－|a|2.又c＝－(a＋b)，所以a·c＝－a·(a＋b)＝－|a|2－a·b＝0，故选B.答案：B(文)(2011·安徽“江南十校”联考)设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.3π4解析：∵(a＋b)2＝1，∴a·b＝－12，∴cos〈a，b〉＝－12，∵〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝2π3，故选C.答案：C(理)(2010·甘肃省质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：∵a·(b－a)＝2，∴a·b－|a|2＝2，∴1×6cos〈a，b〉－1＝2，∴cos〈a，b〉＝12，∵〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝π3.答案：B[例4](2010·哈师大附中联考)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的射影的数量是()A．－4B．4C．－2D．2向量的射影解析：a在b方向上的射影的数量为a·b|b|＝－4.答案：A(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的射影的数量为2，且b在a方向上的射影的数量为1，则a与b的夹角等于()A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π3解析：由条件知，a·b|b|＝2，a·b|a|＝1，a·b＝4，∴|a|＝4，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝44×2＝12，∴〈a，b〉＝π3.答案：B[例5](2011·皖南八校联考)已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋λb与向量－b互相垂直，则实数λ的值为()A.232B.323C．2D．－25向量垂直的充要条件解析：a＋λb＝(3,4)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，4－λ)，－b＝(－2,1)，∵(a＋λb)⊥(－b)，∴－2(3＋2λ)＋4－λ＝0，∴λ＝－25，故选D.答案：D(2011·江南十校素质测试)已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则tan2x＝________.解析：由a⊥b得sinx－2cosx＝0，即tanx＝2，则tan2x＝2tanx1－tan2x＝41－4＝－43.答案：－43一、选择题1．(文)在△ABC中，“AB→·AC→0”是“△ABC为钝角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]当AB→·AC→0时，A为钝角，△ABC一定是钝角三角形，而当△ABC是钝角三角形时，不一定有AB→·AC→0.因此“AB→·AC→0”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选A.(理)(2010·广东东莞模拟)△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，(AB→＋AC→)·BC→＝0，则△ABC一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形[答案]C[解析]因为(AB→＋AC→)·BC→＝0，所以(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，即AC→2－AB→2＝0，|AC→|＝|AB→|，又2B＝A＋C，B＝60°，因此△ABC是等边三角形，故选C.2．(2011·郑州二测)已知向量a与b的夹角为π3，|a|＝2，则a在b方向上的射影的数量为()A.3B.2C.22D.32[答案]C[解析]∵a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝2cosπ3＝22，故选C.3．(2011·浙江金华十校联考)已知a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a＋b|等于()A．0B．22C．4D．8[答案]B[解析]|2a＋b|2＝4a＋4a·b＋b2＝4×1＋0＋22＝8，所以|2a＋b|＝22，故选B.