等差数列前n项和公式课件

复习回顾(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d已知第m项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质:在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq问题1：1+2+3+…+100=？这个问题，德国著名数学家高斯（1777年—1855年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和。假设1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100个101所以,1001012xx=5050.设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..即Sn=n(a1+an)/2因为an=a1+（n-1）d所以Sn=na1+n(n-1)d/2下面将对等差数列的前n项和公式进行推导即前n项的和与首项末项及项数有关若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？由此得到等差数列的{an}前n项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,,,,51nnSanda知三求二例1如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得26072)1201(120120S答：V形架上共放着7260支铅笔。例2等差数列10，6，2，2，…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是Sn，则a1=10，d=6(10)4,设Sn=54，根据等差数列前n项和公式，得5442)1(10nnn02762nnn19，n23(舍去)等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?例3已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.求前16项的和?解:由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18sn=（16/2）×18=144答:前16项的和为144。分析：可以由等差数列性质，直接代入前n项和公式1：在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成AP,求这10个数的和。)(52)(10,2)(5)(2)(12)(1101101baxxSbaxxbabababaSSn：解法：解法巩固练习并求这些元素的和。的元素个数，且求集合100,,7).2/(2mNnnmmM2/(1).求1000以内能被11整除的所有自然数之和。3.求一切被7除余1的三位数之和。