独立重复试验与二项分布(上课用)

§2.2.3独立重复试验与二项分布复习引入(1)互斥事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件P（A+B）=P(A)+P(B)设事件A和事件B，且P(A)0,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。记作P(B|A).(3).条件概率计算公式:()()(|)()()nABPABPBAnAPA注意条件：必须P(A)0(2).条件概率(4)相互独立事件同时发生的概率公式：这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生的概率为：)()()(BPAPBAP那么求概率还有什么模型呢？思考:分析下面的试验，它们有什么共同特点？⑴投掷一个硬币投掷5次;⑵某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次;(3)一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球;(4)生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.它们共同特点：1).每次试验是在同样的条件下重复进行的;2).各次试验中的事件是相互独立的；3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生；4).每次试验某事件发生的概率是相同的.n次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验。独立：每次试验都独立；重复：重复了n次。1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;2).某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,其中6次击中;3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽取5个球,恰好抽出4个白球;×√×判断下列试验是不是独立重复试验：思考:投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？那么恰好出现0次、2次、3次的概率是多少?你能给出一个统一的公式吗？探究:如果在1次试验中，事件A出现的概率为p,则在n次试验中，A恰好出现k次的概率为：knkknnppCkP)1()(（其中k=0，1，2，···，n）实验总次数事件A发生的概率发生的概率事件A事件A发生的次数独立重复试验的概率公式及结构特点：这种概率问题称为伯努利概型例1在人寿保险行业中，很重视某一年龄段的投保的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试问3个投保人中：（1）全部活到65岁的概率；（2）有2个活到65岁的概率；（3）有1个活到65岁的概率；（4）都活不到65岁的概率.解：设1个投保人能活到65岁为事件A，P(A)=0.6，3个投保人活到65岁相当于作三次独立重复试验，所以216.0)6.01(6.0)3(03333CP432.0)6.01(6.0)2(12233CP288.0)6.01(6.0)1(21133CP064.0)6.01(6.0)0(30033CP此时我们称随机变量X服从二项分布，记作:X01…k…np……00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq1012kknknPXkCppkn()(),,,,...,在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数是X，且在每次试验中事件A发生的概率是p，那么事件A恰好发生k次的概率是为于是得到随机变量X的概率分布如下：(q=1－p)二项分布XBnp~(,)是(p+q)n展开式第k+1项吗?注：展开式中的第项.()()kknknnnPkcpqqp是1k例2100件产品中有3件不合格品，每次取一件，有放回抽取3次，求取得不合格品件数X的分布列解：X的可能取值为0，1,2,3，由于是有放回地抽取3次，所以相当于作3次独立重复试验，设1次抽到不合格品为事件A,p(A)=0.03912763.0)03.01(03.0)0(3003CXP084681.0)03.01(03.0)1(2113CXP002619.0)03.01(03.0)2(1223CXP000027.0)03.01(03.0)3(0333CXP二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？1．两点分布是特殊的二项分布(1)p2．一个袋中放有N个求，其中M个红球，，依次从袋中取n个球，记下红球的个数.⑵如果是有放回地取，()(0,1,2,,)mnmMNMnNCCPmmlC(其中min(,)lMn则(,)MBnN⑴如果是不放回地取,则服从超几何分布.例3、已知一个射手每次击中目标的概率为，求他在三次射击中下列事件发生的概率。（1）命中一次；（2）恰在第三次命中目标；（3）命中两次；（4）刚好在第二、第三两次击中目标。35p12536125121255412518例4实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．⑴试求甲打完5局才能取胜的概率．⑵按比赛规则甲获胜的概率．1632116316381(2)记事件A“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，记事件C=“甲打完5局才能取胜”．事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则DABC，又因为事件A、B、C彼此互斥，故()()()()()PDPABCPAPBPC1331816162．答：按比赛规则甲获胜的概率为12．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12．⑴甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负奎屯王新敞新疆∴甲打完5局才能取胜的概率222141113()()22216PC.例5、俗话说“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”设诸葛亮解出题目的概率是0.9，三个臭皮匠各自独立解出的概率都是0.6，皮匠中至少一人解出题目即胜出比赛，列出皮匠中解出题目人数的分布列，并计算诸葛亮和臭皮匠团队哪个胜出的可能性大？解：设皮匠中解出题目的人数为X，则X的分布列：解出的人数x0123概率P00330.60.4C11230.60.4C22130.60.4C33030.60.4C解1：（直接法）解2：（间接法）(1)(1)(2)(3)0.936PxPxPxPx至少一人解出的概率为：(1)1(0)PxPx310.40.9360.9360.9因为，所以臭皮匠胜出的可能性较大例6、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．9.0例7.某厂工人在2011年里有1个季度完成生产任务，则得奖金300元；如果有2个季度完成生产任务，则可得奖金750元；如果有3个季度完成生产任务，则可得奖金1260元；如果有4个季度完成生产任务，可得奖金1800元；如果工人四个季度都未完成任务，则没有奖金，假设某工人每季度完成任务与否是等可能的，求他在2011年一年里所得奖金的分布列．【解】该工人在2011年一年里所得奖金为X，则X是一个离散型随机变量，由于该工人每季度完成任务与否是等可能的，所以他每季度完成任务的概率等于12，所以P(X＝0)＝C04120124＝116，P(X＝300)＝C14121123＝14，P(X＝750)＝C24122122＝38，P(X＝1260)＝C3412312＝14，P(X＝1800)＝C44124120＝116.∴其分布列为X030075012601800P116143814116(2009·辽宁高考)(12分)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；(2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)．[考题印证]变式训练3一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X为这名学生在途中遇到的红灯次数，求X的分布列；(2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解：(1)将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是13且每次试验结果相互独立，故X～B(6，13)，所以X的分布列为P(X＝k)＝Ck6·(13)k·(23)6－k(k＝0,1,2，…，6)．∴X的分布列如下：X0123456P6472964243802431607292024342431729(2)η＝k(k＝0,1,2，…，5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，其概率为P(η＝k)＝(23)k·13，η＝6表示一路没有遇上红灯，故其概率为P(η＝6)＝(23)6，所以η的分布列为η0123456P1329427881162433272964729(3)所求概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(23)6＝665729.4．某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把．于是，他逐把不重复地试开，则：恰好第三次打开房门锁的概率是________；三次内打开的概率是________．解析：5把钥匙，逐把试开有种等可能的结果．(1)第三次打开房门的结果有种，因此第三次打开房门的概率P(A)＝(2)三次内打开房门的结果有3种，因此，所求概率P(A)＝.