数列通项公式和前n项和求解方法(全)

数列通项公式和前n项和求解方法（全）1数列通项公式的求法详解一、观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）,17164,1093,542,211（3）,52,21,32,1（4）,54,43,32,21答案：（1）110nna（2）;122nnnan（3）;12nan（4）1)1(1nnann.二、公式法公式法1：特殊数列例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，求数列{an}和{bn}的通项公式。答案：an=a1+(n－1)d=2(n－1)；bn=b·qn－1=4·(－2)n－1例3.等差数列na是递减数列，且432aaa=48，432aaa=12，则数列的通项公式是（）(A)122nan(B)42nan(C)122nan(D)102nan答案：(D)例4.已知等比数列na的首项11a，公比10q，设数列nb的通项为21nnnaab，求数列nb的通项公式.简析：由题意，321nnnaab，又na是等比数列，公比为q∴qaaaabbnnnnnn21321，故数列nb是等比数列，易得)1()1(1qqqqqbnnn.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.公式法2：知ns利用公式2,1,11nSSnsannn.例5：已知下列两数列}{na的前n项和sn的公式，求}{na的通项公式.（1）13nnSn.（2）12nsn答案：（1）na=3232nn，（2）)2(12)1(0nnnan点评：先分n=1和2n两种情况，然后验证能否统一.三、累加法【型如)(1nfaann的地退关系递推关系】简析：已知aa1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项.答案：)(52Nnnan数列通项公式和前n项和求解方法（全）2例6.若在数列na中，31a，nnnaa21，求通项na.答案：na=12n例7.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.答案：nan12四、累积法【形如1na=f(n)·na型】（1）当f(n)为常数，即：qaann1（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，na=11nqa.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例8：在数列｛na｝中，1a=1,(n+1)·1na=n·na，求na的表达式.例9：已知数列na中，311a，前n项和nS与na的关系是nnannS)12(，试求通项公式na..答案：.)12(12(1nnan思考题1：已知1,111annaann,求数列{an}的通项公式.分析：原式化为),1(11nnana若令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式，累积得解.五、构造特殊数列法构造1：【形如0(,1cdcaann,其中aa1)型】（1）若c=1时，数列{na}为等差数列;（2）若d=0时，数列{na}为等比数列;（3）若01且dc时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1nnaca,得)1(1ccaann,与题设,1dcaann比较系数得)0(,1ccd，所以：)1(11cdaccdann,即1cdan构成以11cda为首项，以c为公比的等比数列.例10：已知数}{na的递推关系为121nnaa，且11a求通项na.答案：12nna构造2：相邻项的差为特殊数列例11：在数列na中，11a，22a，nnnaaa313212，求na.提示：变为)(31112nnnnaaaa.构造3：倒数为特殊数列【形如srapaannn11】例12：已知数列｛na｝中11a且11nnnaaa（Nn），，求数列的通项公式.答案nbann11六、待定系数法：例13：设数列}{nc的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn数列通项公式和前n项和求解方法（全）3解析：设1)1(nnbqdnac建立方程组，解得.点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{na为等差数列：则cbnan，cnbnsn2（b、ｃ为常数），若数列}{na为等比数列，则1nnAqa，)1,0(qAqAAqsnn.七、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例14：（1）数列{na}满足01a,且)1(2121naaaann,求数列{an}的通项公式.解析：由题得)1(2121naaaann①2n时，)2(2121naaan②由①、②得2,21,0nnan.（2）数列{na}满足11a,且2121naaaann,求数列{an}的通项公式（3）已知数列}{na中，,2121,211nnaaa求通项na.八、【讨论法-了解】（1）若daann1（d为常数），则数列{na}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论.（2）形如)(1nfaann型①若paann1(p为常数)，则数列{na}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1nfaann，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例15：数列{na}满足01a,21nnaa,求数列{an}的通项公式.专题二：数列求和方法详解（六种方法）一、公式法1、等差数列求和公式：dnnnaaanaanaanSnnnn2)1(2)(2)(2)(1231212、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn[例1]已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.答案xxxsnn1)1([例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.答案n＝8时，501)(maxnf二、错位相减法方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①(1x)数列通项公式和前n项和求解方法（全）4解析：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积：设nnxnxxxxxS)12(7531432…②①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1.∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn.试一试1：求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.答案：1224nnnS三、倒序相加法方法简介：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa，然后再除以2得解.[例4]求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值.答案S＝44.5四、分组法求和方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组；[例5]求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…答案2)13(11nnaaasnn.试一试1求11111111111个n之和.简析：由于与nkkka)110(91999991111111个个、分别求和.五、裂项法求和方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）)()1(nfnfan；（2）11nnan=nn1；（3）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin；4）111)1(1nnnnan（5）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan.[例6]求数列,21,,421,311nn的前n项和.[例7]在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.数列通项公式和前n项和求解方法（全）5试一试1：已知数列{an}：)3)(1(8nnan，求前n项和.试一试2：1003211321121111...六、合并法求和方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例8]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.答案0[例9]数列{an}：nnnaaaaaa12321,2,3,1，求S2002.（周期数列）[例10]在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值;答案10