弹性力学平面问题的有限单元法02模板

讲授：陈得良Tel：13327311008QQ：416501065Email：[e-mail]12本章主要内容24.1弹性力学平面问题4.2弹性力学平面问题基本方程4.3弹性力学平面问题的三角形单元4.4弹性力学平面问题的整体分析4.5收敛准则和单元位移函数的选择4.6分析实例严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间受力状态，属于空间问题，然而，对于某些特定问题，根据其结构和外力特点可以简化为平面问题来处理。这种近似，可大大减少计算工作工作量，为有限元分析提供方便。弹性力学平面问题可分为两类：如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b载荷和约束沿纵向不变，因此可以认为，沿纵向的位移分量等于零。Pxy34.1弹性力学平面问题(1)平面应变问题xy等厚或不等厚平板，具有如下特点：a长宽尺寸远大于厚度，b载荷只沿板面，且沿厚度均匀分布，因此可以认为沿厚度方向的应力分量等于零。上述两类问题有许多共同特点，合成为弹性力学平面问题。(2)平面应力问题40,0YyxXyxyxyyxxxvyuyvxuxyyx,,xyxyxyyxyyxxEEEE211)1(2,)(1,)(12221.平衡方程2.几何方程对于平面应力问题3.物理方程54.2弹性力学平面问题基本方程TxyyxTxyyx,D2100010112EDDE21E1若令则而称为弹性矩阵，它是一个对称矩阵，它的元素只与弹性常数与有关。换成，把换成对于平面应变问题，须把。6vvuu,uSYlmXmlxyyyxx,S在边界上在边界上应力边界条件4.边界条件7位移边界条件YX,SYX,xyyx,,**,vuuS*u*vxvyuyvxuxyyx*******,,UUW设变形体处于平衡受力状态：体积力为，在自由边界上的表面力为应力为设变形体产生虚位移，在固定边界上的位移及为零，相应的虚应变为则体积力和表面力在虚位移上作的外力虚功W恒等于应力在虚应变上作的虚变形功即，。85弹性体的虚功方程AxyxyyyxxSAdydxtUdstvYuXdydxtYvXuW)(,)()(*******WSUdydxtdUxyxyyyxx)(***其中上面三个积分的意义为：中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示中的积分为它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。上的表面力作的虚功。自由边界9mji,,分析一个典型三角形单元的力学特性。首先建立以单元结点位移表示单元内各点位移的关系式。设单元的结点号码，其结点的坐标分别每个结点在其单元内的位移可以有两个，三个结点位移为一单元的位移模式和形函数104.3弹性力学平面问题三角形常应变单元(xm,ym)uivi(xi,yi)(xj,yj)ijmxyOujumvjvm),(iiyx),(jjyx),(mmyxijm(,),(,),(,),ijmuvuvuv记单元的结点位移向量和结点力向量δⓔFⓔTiijjmmuvuvuvδⓔTxiyixjyjxmymFFFFFFFⓔ(4-1a)(4-1b)yx,yaxaavyaxaau654321621,,,aaa由于单元体也是一个二维的弹性体，单元内各点的位移分量是坐标按此位移模式，单元内各点的位移可以由单元结点位移通过插值来获得。可假定单元内任一点位移是其坐标的线性函数，即式中，是待定常数，它可以确定于下：的函数，在进行有限元分析时，需要假定一个位移模式：(b)),,mjivuTiii（iivu,ixy其中子矩阵式中，是结点在轴和(a)轴方向的位移。11mji,,),(iiyx),(jjyx),(mmyxmmmmmmjjjjjjiiiiiiyaxaavyaxaauyaxaavyaxaauyaxaavyaxaau654321654321654321ummjjiimmjjiimmmjjjiiiuxuxuxayuyuyuayxuyxuyxua11121,11121,21321设结点的坐标分别为、、将它们代入(b)式得联立解(c)式关于的三个方程，可以求得(c)(d)，12mmjjiiyxyxyx1112其中(4-2)mji,,mji,,从解析几何知，(4-2)式中的等于三角形为使求得面积的值不致成负值，结点转向，如图所示。的面积，的次序必须是逆时针13mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbau)()()(21)(11,11,mjmjimjmjijmmjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxa),,(mjimmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbav)()()(21将(d)式代入(b)式中的第一式，并稍加整理得其中(4-3)同理得到(e)(f)14式(e)和式（f）可以看出单元内部位移是由节点位移表示的),,(,)(21mjiycxbaNiiiimmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNuijmufNINININvⓔⓔⓔImjiNNN,,N如令位移模式(e)、(f)就可以写成上两式可合并写成矩阵形式如下式中是二阶单位阵；形函数矩阵(4-4)(4-5)(4-6)位移状态，因而称为，矩阵则称为。是坐标的函数，它们反映单元形函数1516例1求图示的三角形单元的形函数三角形单元xvyuyvxuxyyx有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程(g)二单元的应变1700010002iiijmjijmjiijjmmmmuvbbbucccvcbcbcbuvBⓔ求得应变分量，将(e)、(d)两式代入上式即得或简写成(4-7)(g)18BmjiBBBB),,(,0021mjibccbBiiiiiBmjimjicccbbb,,,,,B,,xyxy其中可写成分块形式而子矩阵公式(4-7)是用结点位移表示单元应变的矩阵方程，矩阵是单元。由于和所以中的元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，故通常称这种单元为。(4-9)等都是常量，常应变单元应变矩阵(4-8)19DDBⓔBDSSⓔS便可导出以结点位移表示应力的关系式。把(2-7)式代入上式，得到令则(4-10)式写成这就是应力与结点位移的关系式，其中称为。(4-10)(h)(4-11)三单元的应力应力矩阵20在得到应变之后，再利用物理方程称为弹性矩阵SiiiiiiiibccbcbEBDS2121)1(22对于平面应力问题，的子矩阵可写成(4-13)矩阵S可写成分块形式mjimjiSSSBBBDS(4-12)),,(mji21iiiiiiibccbcbES)1(221)1(22111)21)(1(2)1(对于平面应变问题(4-14)),,(mji22mmjjiiSSSS如果注意到(4-1)式，则(4-11)式可写成从(4-13)、(4-14)式可以看出，个单元中的应力分量也是常量。因而，相邻单元将具有不同的应力和应变。这样，越过公共边界，从一个单元到另一个与它相邻的单元，应力和应变的值都将有突变，但是位移是连续的（参阅下节），常应变单元的这些性质实际上都是由于选取线性的位移模式所造成的。(4-15)中的元素都是常量，所以每23),,(,)(21mjiycxbaNiiiimmjjiiyxyxyx1112mjimjixxcyyb11,11上节讨论常应变三角形单元时，曾提出形函数其中mmjjiyxyxa,坐标轮换ijm24四形函数的性质jjjiiicbacba,,,,,mmmcba,,21)(21),(iiiiiiiiycxbayxNmj,0)(21),(0)(21),(mimiimmijijiijjiycxbayxNycxbayxN由(4-3)式可知，常数和依次式行列式的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式，根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其它行（或列）的元素的代数余子式乘积之和则等于零，从而可以推出形函数的许多性质如下：而在其余两结点上的值251形函数在在本结点上的值等于1，在除以外的其他节点处都等于零iNii(,)0,(,)1,(,)0jiijjjjmmNxyNxyNxy(,)0,(,)0,(,)1miimjjmmmNxyNxyNxy类似地有（参见《结构及弹性力学有限元》，刘怀恒主编26ycccxbbbaaaycxbaycxbaycxbayxNyxNyxNmjimjimjimmmjjjiiimji)()()(21)(21),(),(),(1),(),(),(yxNyxNyxNmji2在单元任一点上三个形函数之和等于1根据前述行列式的性质，第一圆括号等于2，而第二、第三圆由此可见，三个形函数中只有二个是独立的。括号都等于零。故有27证明：0),(,),(1),(yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijiiijijiimmyxxcby)(3在三角形单元的一边上，例如边上有也就是说，在边上的形函数与第三个顶点的坐标无关。事实上，边的方程到(4-4)式，即可得到上面结果（学生自己证明）代28ijijm将ij边坐标代入形函数即可得到ij0),(),(yxNyxNnm利用这一性质，很容易证明相邻两个单元的位移，分别进行线性插值之后，在公共边是连续的，例如图中单元和具有公共边由(f)式在边上29ijmijnijjiNN,vu,ji,式中如(f)式所示，可见在公共边上的位移公共边的两个结点的位移所确定，所示相邻单元的位移是连续完全由jjiijjiivNvNvuNuNu,不论按照哪个单元来计算，根据(4-5)式公共边上的位移均由下式表示30yyNyNyNxxNxNxNNNNmmjjiimmjjiimji11．试证：在三结点三角形单元内的任意一点都有2．试证：在三结点三角形单元mji的一边上，例如ji边上有0),(),(1),(yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijii313．求所示三角形的二次插值位移模式。该单元有三个主结点，两个副结点。3233五单元刚度矩阵（1）单元的应变能（4-16）（2）单元上外力的势能12TUdεσTTTvsAVddAcfpfpδFⓔⓔ（4-17）式中、、分别表示单位体积的体积力、单元上的表面力、单元结点上的结点荷载。vpspcFⓔ34将应力矩阵、应变矩阵、单元位移矩阵（4-16）、（4-17）后相加，得到单元的总势能为：12TTTTTvscAdpdpdAδBDBδδNNFⓔⓔⓔⓔⓔδⓔ利用最小势能原理，