2016高等数学1测试题目及答案(高校真题)

第1页共4页2015－2016学年第1学期第2次测试卷课程名称高等数学I考试时间90分钟题号一二三四总成绩得分阅卷教师签字：一.填空题（每小题4分，共20分）1、设在[0,1]上()0fx，则(0),(1),ff和(1)(0)ff的大小关系顺序为(1)(1)(0)(0)()也可以ffff.2、设函数2(sin)yfx（其中()fx为可导函数），则微分dy2sin2(sin)dxfxx.3、若()darccosxfxxxC，则()fx211xx.4、曲线xyxe的拐点是2(2,2)e，凹的区间是(2,)2,)或[.5、若(ln)1fxx，则()fxxxeC.二.计算题（每小题7分，共28分）注意：二、三、四大题方法不唯一1、22011lim()sinxxx；2、11cos0sinlim()xxxx；22220sinlim()sinxxxxx1sinln1cos0limxxxxe2240sinlim()xxxx（3分）002sinsinln1limlim11cos2xxxxxxxx（3分）302sin2lim()4xxxx3200sincos1lim2lim23xxxxxxx13201cos2lim()6xxx13（7分）原式=13e（7分）班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线第2页共4页3、2d23xxx；4、dxxxee.22d(23)623xx（前面缺负号4分）2d1xxexe2233xC（7分）2d1xxee（4分）arctanxeC（7分）三.解答题（第1、2、3小题每小题8分，第4小题10分，共34分）1、设函数()yyx由方程yexye定，求(0)y.（8分）解：原式两边求导得：0yyeyxy（1）（3分）由0,1xy得1(0)ye（4分）再对（1）式两边求导：2()20yyyeyeyxy（2）将0,1xy，1(0)ye代入（2）式得：21(0)ye（8分）2、求由参数方程ln(1t)txyte确定的函数的一阶导数和二阶导数.（8分）解：2d()(1)(1)1d(ln(1))1tttyteetetxtt（4分）考虑对参数方程2dln(1t()1)dtyextx求导，得：222322(ld((1))(1)(3)(5n(1t))73)dtttyetettetttx（8分）第3页共4页3、当a为何值时，函数1()sinsin33fxaxx在3x处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.（8分）解：()coscos3fxaxx所以：()1032af故：12,()2sinsin33afxxx（4分）()2sin3sin3fxxx()303f因此：3x为极大值点，且极大值为()33f（8分）4、求曲线2(08)yxx的切线，使切线与直线0y及直线8x所围成的三角形的面积最大.（10分）解：2yx，设00(,)xy为曲线上一点，则200yx点00(,)xy处的切线为：0002()yyxxx（3分）切线与X轴交点：0(,0)2x；切线与直线8x交点：200(8,16)xx所以三角形面积：2320000000111()(8)(16)864224Sxxxxxxx（6分）令：0()0Sx，得：0163x（0168x舍去）且16()803S所以0163x为极大值点，也是最大值点，所求切线为：32256.39yx（10分）第4页共4页四.证明题（第1小题8分，第2小题10分，共18分）1、证明不等式：当0x时：1ln(1)xex.证明：令()1ln(1)xfxex1()1xfxex（2分）21()0(1)xfxex，所以()fx单调递增；（4分）所以：当0x时，()(0)0fxf，故()fx单调递增；（6分）所以：当0x时，()(0)0fxf，原不等式成立。（8分）2、函数()fx与g()x在[,]ab上二阶可导，且g()0x，()()()()0fafbgagb.证明：（1）在开区间(,)ab内g()0x；（2）存在(,)ab，使得：()()()()ffgg.（10分）证明：（1）若存在(,)cab，使得：g()0c，由Lagrange中值定理有：存在1(,)ac，使得：1()0g存在2(,)cb，使得：2()0g（3分）在12(,)上再由Lagrange中值定理有：存在12(,)，使得：()0g与已知g()0x矛盾，所以假设不成立.（5分）（2）令()()()()()Fxfxgxfxgx（3分）所以：()()0FaFb由Rolle中值定理有:存在(,)ab，使得：()0F因为()0,g()0g，所以：()()()()ffgg.（5分）