2014届高考数学一轮复习讲义：10[1].3-二项式定理

主页一轮复习讲义二项式定理主页1．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的，其中的系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做．式中的叫做二项展开式的，用Tr＋1表示，即展开式的第项；Tr＋1＝.忆一忆知识要点二项展开式二项式系数Crnan－rbr通项r＋1Crnan－rbr要点梳理主页2．二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为.(3)字母a按排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从，C1n，一直到Cn－1n，.忆一忆知识要点n＋1n降幂升幂C0nCnn要点梳理主页3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“”的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn－mn.(2)增减性与最大值：二项式系数Crn，当r时，二项式系数是递增的；当r时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项取得最大值．当n是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值．忆一忆知识要点等距离n＋12n＋12C2nnC21nnC21nn要点梳理主页(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即＝＝.忆一忆知识要点C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋CnnC1n＋C3n＋C5n＋…C0n＋C2n＋C4n＋…2n－1要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．二项式的项数与项(1)二项式的展开式共有n＋1项，Crnan－rbr是第r＋1项．即r＋1是项数，Crnan－rbr是项．(2)通项是Tr＋1＝Crnan－rbr(r＝0,1,2，…，n)．其中含有Tr＋1，a，b，n，r五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．主页2．二项式系数与展开式项的系数的异同在Tr＋1＝Crnan－rbr中，Crn就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；Tr＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝Crn2n－r·3rxn－ryr，其中Crn2n－r3r就是Tr＋1项的系数．主页例1在二项式x＋124xn的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．求展开式中的特定项或特定项的系数利用已知条件前三项的系数成等差数列求出n，再用通项公式求有理项．解∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n2，18n(n－1)，∴2·n2＝1＋18n(n－1)，主页解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)，∴Tr＋1＝当4－34r∈Z时，Tr＋1为有理项，∵0≤r≤8且r∈Z，∴r＝0,4,8符合要求．故有理项有3项，分别是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x－2.∵n＝8，∴展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大且为T5＝358x.rrrrrrxCxxC434842882)21(主页求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．探究提高主页已知在3x－123xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．变式训练1解(1)通项为Tr＋1＝因为第6项为常数项，所以r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.33)21(rrrnrnxxC.)21(32rnrrnxC主页(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C210－122＝454.(3)根据通项公式，由题意10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈N.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k.∵r∈N，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210－122x2，C510－125，C810－128x－2.主页例2在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．二项式系数和或各项的系数和的问题求二项式的系数的和，常用赋值法求解．主页解设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和a0＋a2＋a4＋…＋a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29，偶数项的二项式系数和为C110＋C310＋…＋C910＝29.(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①主页令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，∴奇数项的系数和为1＋5102；①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，∴偶数项的系数和为1－5102.(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝1－5102；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1＋5102.主页(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.探究提高主页已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中ai(i＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)∑10n＝1an的值；(2)∑10n＝1nan的值．变式训练2解(1)∵(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，∴令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝25＝32；令x＝－1，则a0＝1，即∑10n＝1an＝31.(2)∵(x2＋2x＋2)5＝[1＋(x＋1)2]5＝C05×15＋C15(x＋1)2＋C25(x＋1)4＋C35(x＋1)6＋C45(x＋1)8＋C55(x＋1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10，主页∴a0＝C05，a1＝a3＝a5＝a7＝a9＝0，a2＝C15，a4＝C25，a6＝C35，a8＝C45，a10＝C55.∴∑10n＝1nan＝a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝2C15＋4C25＋6C35＋8C45＋10C55＝10C15＋10C25＋10C55＝50＋100＋10＝160.主页例3(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．二项式定理的应用将已知式子适当整理化简，再根据题目要求选择合适的二项展开式求解．(1)证明∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝25n－12－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C0n×31n＋C1n×31n－1＋…＋Cn－1n×31＋Cnn－1＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋Cn－1n)，主页显然C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋Cn－1n为整数，∴原式能被31整除．(2)解S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是正整数，∴S被9除的余数为7.主页利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理．探究提高主页求证：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；(2)3n(n＋2)·2n－1(n∈N*，n2)．变式训练3证明(1)∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9＝9(C0n8n＋C1n8n－1＋…＋Cn－1n·8＋Cnn·1)－8n－9＝9(8n＋C1n8n－1＋…＋Cn－2n82)＋9·8n＋9－8n－9＝9×82(8n－2＋C1n·8n－3＋…＋Cn－2n)＋64n＝64[9(8n－2＋C1n8n－3＋…＋Cn－2n)＋n]，显然括号内是正整数，∴原式能被64整除．主页(2)利用二项式定理对3n＝(2＋1)n展开证明．因为n∈N*，且n2，所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．(2＋1)n＝2n＋C1n·2n－1＋…＋Cn－1n·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋12n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，故3n(n＋2)·2n－1.主页(14分)已知(x－2x2)n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．易错警示混淆二项展开式的项与项数以及二项式系数与项的系数致误23x主页学生解答展示主页(1)审条件，构建关于n的方程求n.(2)审要求，可利用“赋值法”求各项系数之和；利用通项公式确定含的项数；确定系数最大的项数和二项式系数最大项的项数，再求项．审题视角规范解答解由题意知，第五项系数为C4n·(－2)4，第三项的系数为C2n·(－2)2，则有C4n·－24C2n·－22＝101，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．[2分]23x主页(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.[4分](2)通项公式Tr＋1＝Cr8·(x)8－r·－2x2r＝Cr8·(－2)r·令8－r2－2r＝32，则r＝1，故展开式中含的项为T2＝－16.[8分](3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为Cr－18·2r－1，Cr8·2r，Cr＋18·2r＋1，若第r＋1项的系数绝对值最大，则Cr－18·2r－1≤Cr8·2r，Cr＋18·2r＋1≤Cr8·2r，解得5≤r≤6.[10分]23x23x,228rrx主页又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1792x－11.由n＝8知第五项二项式系数最大，此时T5＝1120x－6.[14分]批阅笔记(1)本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念．(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同；项数和项的不同．(3)本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别．主页1．通项公式最常用，是解题的基础．2．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理