2019-2020学年人教A版必修-第二册-8.6.1-直线与直线垂直)课件

8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).【思考】平面内两条相交直线所成角的定义是什么？提示：两直线相交，所成的锐角或直角叫做两相交直线所成的角.(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.(3)范围：0°α≤90°(α为异面直线所成的角).【思考】两直线所成的角是0°时，两直线的位置关系是什么？提示：平行.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)与一条直线都垂直的两条直线平行.()(2)分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.()(3)若∠AOB=110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°.()提示：(1)×.与一条直线都垂直的两条直线位置不确定.(2)×.两直线可能相交.(3)×.两条异面直线所成的角为70°.2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则异面直线A1D与B1D1所成角为()A.B.C.D.6432【解析】选C.连接BD，BA1，因为B1D1∥DB，故∠A1DB(或其补角)为异面直线A1D与B1D1所成角，设AD=1，在△A1DB中，则A1D=，DB=，A1B=，所以∠A1DB=.32223.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是边AA1，AB的中点，则异面直线EF，CC1所成的角为________.【解析】连接A1B，因为EF∥A1B，CC1∥BB1，所以∠A1BB1即为异面直线EF，CC1所成的角，所成的角为45°.答案：45°类型一求简单的异面直线所成的角【典例】1.(2019·西安高一检测)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AA1=2AD，则异面直线CB1与BA1所成角的余弦值是()441010A.B.C.D.5510102.(2019·南京高一检测)在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为()A.150°B.60°C.120°D.30°37【思维·引】1.作CB1的平行线得出异面直线所成的角后求角.2.借助点E，F构造异面直线所成的角求角.【解析】1.选D.分别取A1B1，BB1，BC的中点为H，E，F，连接HE，EF，HF，由HE∥A1B，EF∥B1C，得∠HEF(或其补角)为异面直线CB1与BA1所成角，不妨设AD=2，则HE=，EF=，HF=3，在△EFH中，由余弦定理得cos∠HEF=25222HEEFHF10,2HEEF10则异面直线CB1与BA1所成角的余弦值是.10102.选D.如图所示，取AC的中点M，连接EM，FM.则EM∥BC，FM∥AD，EM=BC=，FM=AD=1，所以∠EMF或其补角即为异面直线AD与BC所成角.在△MEF中，cos∠EMF=所以∠EMF=150°.所以异面直线AD与BC所成角的大小为30°.3173,223112312【内化·悟】利用异面直线平移作出的角一定是异面直线所成的角吗？提示：不一定，是异面直线所成的角或其补角.【类题·通】异面直线所成的角的求法(1)作：利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段，平行四边形的对边等平移两异面直线到一个点，并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角.(2)求：求出三角形的边，利用余弦定理求出角的余弦，进而求出角；如果是特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等，则利用相应三角形的性质求角.【习练·破】(2019·厦门高一检测)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面正方形边长为1，AA1=2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()542515A.B.C.D.55515【解析】选B.如图，连接CD1，AC，则A1B∥CD1，则∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B与AD1所成角，在△AD1C中，由已知可得AC=，AD1=CD1=，所以cos∠AD1C=即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.255524.525545类型二利用异面直线所成的角证明垂直【典例】(2019·成都高一检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，求证OD1⊥A1C1.世纪金榜导学号【思维·引】要证明OD1⊥A1C1,应先构造异面直线OD1,A1C1所成的角，若能证明这个角是直角，即得OD1⊥A1C1.【证明】连接AC，BD，交于点O，连接OD1，AD1，因为A1C1∥AC，所以∠AOD1是异面直线OD1与A1C1所成的角(或所成角的补角)，因为OA=22112AC11,22222221126AD112,OD1(),22＝＝＝所以cos∠AOD1=所以∠AOD1=90°.所以异面直线OD1与A1C1所成的角为90°.所以OD1⊥A1C1.222111132AOODAD220,2AOOD26222＝【内化·悟】怎样证明空间中两直线垂直？提示：证明两异面直线所成的角是直角.【类题·通】证明两异面直线垂直的步骤(1)作出两异面直线所成的角.(2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系.(3)结论.【习练·破】如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1，点P，M分别是AA1，CC1的中点，求证B1M⊥D1P.12【证明】取DD1的中点N，连接A1N，PN，则直线A1N，PD1所成的角即为直线B1M，D1P所成的角，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1，所以四边形A1PND1是正方形，所以A1N⊥PD1，所以B1M⊥D1P.12【加练·固】如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证CD1⊥EF.【证明】取CD1的中点G，连接EG，DG.因为E是BD1的中点，所以EG∥BC，EG=BC.因为F是AD的中点，且AD∥BC，AD=BC，所以DF∥BC，DF=BC，所以EG∥DF，EG=DF，所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG，所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.1212又A1A=AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，所以DG⊥CD1，所以∠D1GD=90°，所以异面直线CD1，EF所成的角为90°.所以CD1⊥EF.类型三异面直线所成角的综合问题角度1灵活补形求角【典例】(2019·淮安高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为____.世纪金榜导学号【思维·引】要作异面直线所成的角，可以考虑将正方体补成一个长方体，方便作平行线构造角.【解析】将正方体ABCD-A1B1C1D1补成一个长方体，连接CE1，ME1，DB1∥CE1，所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成角(或其补角)，设正方体的棱长为a.在三角形MCE1中，CM=那么cos∠MCE1=答案：11513a,CE3a,MEa,22222513a3aa1544.1552a3a21515【素养·探】在作异面直线所成的角时，常常用到核心素养中的直观想象，通过对几何体形状的扩展，达到方便作角的目的.本例中，若N是BB1的中点，试求异面直线DN，CM所成角的余弦值.【解析】将正方体ABCD-A1B1C1D1补成一个长方体，P为所在棱中点，连接CP，MP，DN∥CP，所以∠MCP是异面直线DN与CM所成角，设正方体棱长为a.在三角形MCP中，CM=那么cos∠MCP=5310a,CPa,MPa,2222225910aaa25444.15532aa22角度2异面直线所成角的应用【典例】空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为50°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为________.世纪金榜导学号【思维·引】先构造出已知两条异面直线所成角，再寻求要求的角与已知角的关系.【解析】取BD中点G，连接EG，FG，则由三角形中位线定理得EG∥CD，EG=CD，FG∥AB，FG=AB，所以EG=FG，EF与AB所成角为∠EFG，因为AB与CD所成的角为50°，1212所以∠EGF=50°或∠EGF=130°，所以EF与AB所成角的大小为25°或65°.答案：25°或65°【类题·通】1.关于补形作异面直线所成的角当不方便作异面直线所成角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线，二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四棱锥补成一个正方体.2.关于异面直线的应用当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论.【习练·破】(2019·白城高一检测)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是________.3【解析】连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1=BC，A1D1∥BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C=90°，因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，所以AC=2sin60°×2=6，33所以AD1=所以AA1=答案：2AC32,2＝2222111ADAD32236.（）（）6