高等代数(一)试题(卷)与参考答案解析

第1页，共7页高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1.以下乘积中（）是4阶行列式ijDa展开式中取负号的项.A、11223344aaaa.B、14233142aaaa.C、12233144aaaa.D、23413214aaaa.2．行列式13402324a中元素a的代数余子式是（）.A、0324.B、0324.C、1403.D、1403.3．设,AB都是n阶矩阵，若ABO，则正确的是（）.A、()()rArBn.B、0A.C、AO或BO.D、0A.4．下列向量组中，线性无关的是（）.A、{}0.B、,,0.C、12,,,r，其中12m.D、12,,,r，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A是n阶矩阵且()rArn，则A中（）.A、必有r个行向量线性无关.B、任意r个行向量线性无关.C、任意r个行向量构成一个极大线性无关组.D、任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表出.6．n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）条件.A、充要.B、充分非必要.C、必要非充分.D、非充分非必要.二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）.1．若A为n阶矩阵，k为非零常数，则kAkA.（）2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同.（）3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变.（）4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵.（）5．任何数域都包含有理数域.（）三、填空题（每空4分，共24分）.第2页，共7页1．行列式000100200100000Dnn.2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)，则，(,).3．矩阵12311211022584311112A，则()rA.4．设线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb有解，其系数矩阵A与增广矩阵A的秩分别为s和t，则s与t的大小关系是.5．设111123111,124111051AB，则1AB.四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111aaaa；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)等价的正交单位向量组.（10分）第3页，共7页4．求矩阵211020413A的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）题号123456答案BCADAB二、判断题（每题2分，共10分）题号12345答案××√√√三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!nnn；2．（1）6；（2）0；3．3；4．st；5.351222312212112.四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分）(1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111aaaaaaaaaaaaaaa..............（3分）311110100(3)(3)(1)00100001aaaaaa...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分(2)解：第4页，共7页222233331111111116541654136251616541216125641654，此行列式为范德蒙行列式......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654原式.......（3分）2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形12132112132112132121113603177401154111222201154103177423517105017116301711631213211213210115410115410317740048510171163000000..................（3分）得同解方程组12345234534523215414851xxxxxxxxxxxx取45,xx为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185xxxxxxxxxxxx（其中45,xx为自由未知量）将450,0xx代入得特解01551(,,,0,0)444.................（3分）第5页，共7页用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850xxxxxxxxxxxx仍取45,xx为自由未知量，得一般解12345234534523254485xxxxxxxxxxxx，将451,0xx和450,4xx分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122kk，12,kk为数域P中任意数。............（1分）注：答案不唯一，但同一齐次方程组的基础解系必等价。3．(10分)解：因123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)是线性无关向量组，现将123,,正交化，令11，2122111(,)4(1,1,0,4)(1,1,1,1)(0,2,1,3)(,)4313233121122(,)(,)814(3,5,1,1)(1,1,1,1)(0,2,1,3)(,)(,)414(1,1,2,0)............................（6分）再将向量组123,,单位化，得1111111(,,,)2222，第6页，共7页22214(0,2,1,3)14，3336(1,1,2,0)6.即123,,就是与123,,等价的正交单位向量组。....................（4分）注：答案不唯一。4．（10分）解：A的特征多项式为2211()020(1)(2)413fEA所以A的特征值为1,2（2重）.....................（4分）1对应的齐次线性方程组为1232123030440xxxxxxx它的基础解系是1101，11k（10k）为A的属于特征值1的特征向量；.................（3分）2对应的齐次线性方程组为12340xxx它的基础解系是1144231,001；2233kk（23,kk不同时为零）为A的属于特征值2的特征向量................（3分）第7页，共7页注：答案不唯一.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。