(1-1)利息度量讲解

1金融数学曾婕联系方式：[e-mail]参考书：《金融数学》，JosephStampfli,VictorGoodman编，机械工业出版社。《金融数学》（第四版），孟生旺编，中国人民大学出版社。《金融数学》，李晓红、朱婧、赵秀芳、堵秀风编，北京航空航天大学出版社。3主要内容利息的度量年金计算投资收益债务偿还证券定价：债券、股票、衍生产品（远期、期货、互换、期权）利率风险4利息度量(1)（Measurementsofinterest）5在日常生活中：如何度量速度？距离/时间瞬时速度如何度量死亡率？死亡人数/期初生存人数死亡力（一瞬间死亡的人所占比例）如何度量利率？利息/本金利息力（连续复利）(t时刻的瞬时利息率)61.1利息的基本函数利息（interest）的定义：借用他人资金所需支付的成本，或出让资金所获得的报酬。利息是资金所有人因为出借资金而从借款人手中获得的报酬，即对资金所有人在出借期间因为不能使用资金而蒙受损失的补偿。7关于利息的几个基本概念本金（principal）：初始的资本金额，指贷款、存款或投资在计算利息之前的原始金额。累积值（accumulatedvalue）：过一段时期后收到的总金额。某方投资一定数量的货币于某个业务中，在没有新的资本投入和原始本金抽取的假设下，本金经过一段时间将达到一个新的价值。利息（interest）——累积值与本金之间的差额（价值增值）。8积累函数(Accumulationfunction)积累函数是指期初的1元本金在时刻t时的累积值,通常被记为a(t)。性质：a(0)=1；a(t)通常是时间的递增函数；9例：考察下面常见的积累函数（1）常数：a(t)=1（2）线性：a(t)=1+0.1t（3）指数：a(t)=(1+0.1)t上述3个函数是否满足积累函数的性质？1002468101214161820-1012345()(10.1)tat()10.1att()1at对应哪些生活中的实例？11金额函数（Amountfunction）当原始投资不是1个单位的本金，而是k个单位时，则把k个单位本金的原始投资在时刻t的积累值记为A(t),称为金额函数。性质A(0)=k；A(t)=k·a(t),k0,t≥012利息（interest）的数学定义从投资之日算起，在第n个时期所获得的利息金额记为I(n)，则利息金额I(n)在整个时期内产生，但在最后时刻实现（支付、得到）。金额函数A(t)在时间段[t1,t2]内所获得的利息金额为()()(1),1InAnAnn1221(,)()()IttAtAt131.2实际利率（effectiverateofinterest）实际利率i等于某一时期开始时投资1单位本金，在此期间末应获得的利息：实际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本金之比：(1)(0)iaa(1)(0)(1)(0)(1)(0)(0)(0)aaAAIiaAA当期利息＝期初本金14实际利率经常简称为利率，用百分比来表示，如8%；利息是在期末支付的；本金在整个时期视为常数；通常的计息期为标准时间单位，如年、月、日。若无特别说明，实际利率是指年利率。实际利率可对任何时期来计算。第n个时期的实际利率为()(1)()(1)(1)nAnAnIniAnAn附注：15例：把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是多少？16解：(0)1000,(1)1020,(2)1050(1)(1)(0)20(2)(2)(1)30AAAIAAIAA2(2)302.94%(1)1020IiA1(1)202%(0)1000IiA171.3单利(simpleinterest)假设在期初投资1单位，在每个时期末得到完全相同的利息金i，即只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息，这种计息方式称为单利，i称为单利率。单利的积累函数满足下述性质：上述单利的积累函数对t≥0的整数值才有定义。(0)1(1)1()1aaiatit18考虑单利的一个直观性质：从时间t开始到时间t＋s所产生的利息等于从时间0开始到时间s所产生的利息。即相同的时期产生相同的利息。（无记忆性）()()()1,0,0atsatasts当t为非整数时，单利的累积函数（了解）：0stt+s19假设a(t)可导，由导数的定义有0()()()limatatat在上式中，用s代替t，并在等式两端从0到t积分，即得00()(0)ttasdsads0()1lima0()(0)limaa(0)a()(0)(0)atata()(0)(0)atata20)0(1)0()0()(atatata现在只需求出)0(a，即可求得单利条件下的累积函数若令t=1，则由上式有)0(1)1(aa而由前面可知，a(1)=1+iia)0(因此a(t)=1+it上述推导过程没有限制t为正整数，因此对一切大于零的时间t都是成立的。21单利的累积函数22常数的单利并不意味着实际利率(effectiverate)是常数！1(1)ini问题:为什么在每个时期所获的利息金额相等，而实际利率却越来越小呢？因此，实际利率是n的递减函数。()(1)(1)nananian(1)[1(1)]1(1)ininin单利与实际利率的关系：23例若每年单利为8％，求投资2000元在4年后的积累值和利息。累积值为：所得利息的金额为(4)2000(148%)2640A2640200064020008%4利息金额＝本金利率时期24单利的应用:t的确定,t=投资天数/每年的天数（1）精确单利，记为“实际/实际”（actual/actual），即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。（2）银行家规则(banker’srule)，记为“实际/360”，即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。（3）“30/360”规则，即在计算投资天数时，每月按30天计算,每年按360天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式计算：212121360()30()()YYMMDD其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。25例：若在1999年6月17日存入1000元，到2000年9月10日取款，年单利利率为8％，试分别按下列规则计算利息金额：（1）“实际/实际”规则（精确单利）（2）“30/360”规则（3）“实际/360””规则(银行家规则)26（1）从1999年6月17日到2000年9月10日的精确天数为451（应用EXCEL），因此利息金额为（2）根据“30/360”规则，投资天数为因此利息金额为（3）根据“实际/360”规则计算的利息金额为45110000.0898.8365360130(96)(1017)44344310000.0898.4436045110000.08100.236027单利的缺陷：不满足一致性令t=t1+t2则含义：分两段投资将产生更多利息。1212212()()(1)(1)1(1)()atatitititittitat例：假设银行账户按单利6%计算，投资者A在银行存入100元，期限为2年，投资者B也存入100元，但是他在第1年末取回了累计值，紧接着又存入银行。请问在第2年谁的累计值更大？解：在第2年末，投资者A的累计值为：a(2)=100(1+2×0.06)=112(元)在第年末，投资者B的积累值为：a(1)=100(1+1×0.06)=106(元)投资者B在第1年末把106元取出，然后又将其重新存入银行，仍以6%的单利计息，则在第2年末投资者B的累计值为：a(2)=106(1+1×0.06)=112.36(元)可见，投资者B的积累值更大,分段投资将产生更多利息。28291.4复利(compoundinterest)在单利情形下，前面时期所获得的利息并没有在后面的时期获取利息。假设年初存入1000元，每年的利率为5％，则每年末可获利50元，因此在年末有1050元可以用来投资。如果按照1050元来计算，将在明年末获得利息为52.5元，比只按照1000元投资要多获得利息2.5元。复利的基本思想：利息收入被再次计入下一期的本金，即所谓的“利滚利”。（更为常见）30复利的积累函数考虑期初投资1，它在第一年末的积累值为1＋i;余额1＋i可以在第二期初再投资，在第二期末积累值将达到(1+i)+(1+i)i=(1+i)2;在第三期末将达到(1+i)2+(1+i)2i=(1+i)3一直持续下去……，对于整数时期t，积累函数为()(1)tati31对于非整数t，复利的累积函数（了解）()()(),0,0atsatasts设a(t)可导，则由导数的定义得0()()'()limsatsatats0()()()limsatasats0()1()limsasats()'(0)ata如何求出a(t)的表达式？'()'(0)()ataat32因此，'()ln()'(0)()atdataatdt将t换成r，并将等式从0到t积分，有00ln()'(0)ttdardradrdrln()ln(0)'(0)atataln()'(0)atta注：a(0)=1求出即可！(0)a33ln(1)'(0)aa()(1)tati可见，对于非整数t，同样有ln()ln(1)atti(1)1ai若取t=1,则有又因为故'(0)ln(1)ln(1)aai因此由ln()'(0)atta可以求得例：若复利的年利率为5%，初始本金为2000元，试计算：(1)在9个月后的累计值；(2)在2年零3个月后的累计值。解：(1)2000×(1+0.05)0.75=2074.54(元)(2)2000×(1+0.05)2.25=2232.06(元)3435复利的累积函数36常数的复利率意味着实际利率也为常数(1)11ii()(1)(1)nananian11(1)(1)(1)nnniii复利与实际利率的关系37单利与复利之间的关系（下图）单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。当0t1时，单利比复利产生更大的积累值。当t1时，复利比单利产生更大的积累值。当t=1或0时，单利和复利产生相同的累积值。00.511.511.522.533.544.555.5复利单利38•单利累积函数：是一条直线•复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也大于0。下凸曲线。•两个交点：0和1。00.511.511.522.533.544.555.5复利单利39404100.20.40.60.811.21.41.61.8211.21.41.61.822.22.42.6xa(x)单利和复利的累积函数的比较（i=60%)复利单利42例按复利和单利分别计算，当年利率为11％时，开始应投资多少元钱才能使第5年的本金和利息总和积累到1000元?(0)(1511%)1000(0)645.16AA5(0)(111%)1000(0)593.47AA431.5贴现（discount）思考：在期初开始时应投资多少，才能使得年末的本金和利息总额恰好为1?这是一个求现值的过程，即贴现过程，与累积过程互逆。时刻t的1个货币单位在时刻0的价值称为贴现函数。用a-1(t)表示。0t1a(t)a-1(t)144贴现函数(discountfunction)单利的贴现函数复利的贴现函数11()(1)at