集合论-第4章-无穷集合及其基数

1第四章无穷集合及其基数在第一章中介绍了有限集合及其基数的概念，在这一章中，我们将利用映射，特别是利用一一对应作为工具，建立可数集和连续统集的概念，并研究它们的一些性质，从而得出无穷集合的特征性质（无穷的本质）；然后把有穷集合元素个数的概念推广到无穷集合上去，建立起无穷集合基数的概念；接着建立基数的比较以及基数的算术运算，从而使无穷集合也有了“大小”与“多少”之分；最后，介绍一下集合的一些悖论。§1可数集N当作标准集有限（穷）－最简单的集合自然数集合－最简单的－无限（穷）无穷不可数集1.1对等定义1设X,Y是两个集合，若X与Y之间有一个一一对应，则称X与Y对等，记为X～Y。“～”这是一个关系，而且是一个等价关系，于是就可以把集合分成几类。1.2可数集定义定义2凡与自然数集合N＝｛1，2，3，…，n，……｝对等的集合都称为无穷可数集合，简称可数（或可列集、可列）。说明：(1)以后无特殊说明，N总是代表自然数集。2.“无穷”与“无限”称为同义词，不加区分。类似的，“有穷”与“有限”也是一样。定义3（等价定义）若从自然数集N到集合X存在一个一一对应f：N→X，则称集合X是无穷可数集合，或可数。定义4若X有限或无穷，则称X至多可数。若X不是可数集且也不是有限集，则称X为不可数的无穷集，或不可数集。（但是，在科学上很少有用否定词下定义的）说明：（1）有限集合既不是可数集也不是不可数集（2）可数与不可数只是对无穷集合而言的。例题例1．所有整数形成的集合是一个可数集。2123456701122330112233123456722:,()22nfNIfnnn不能整除；能整除。210:,()20mmfINfmmm当时当＜时显然，f是一一对应。例2．所有偶数形成的集合是一个可数集。解：f：E→N，2mE，0:(2)10mmfmmm显然，f是一一对应。……-6-4-202468…………75313568……例3．下例集合都是可数集A=｛1，3，5，7，…｝，B=｛2，4，6，8，…｝，C=｛1，4，9，16，25，…，n2，…｝D=｛1，12，13，…，1n，…｝，E=｛1，212，213，…，21n，…｝等等。1.3性质由于自然数集合N中元素可以排列一个无穷序列的形式：1，2，3，…，n，…因此与N一一对应的集合A中的元素也可以排列一个无穷序列的形式：a1，a2，…，an，…反之，对于一个集合A，若A中的元素可以排成上述无穷序列的形式，则A一定是可数的吗？回答是肯定的。因为A中元素an与自然数集合N中元素n之间可以建立起一一对应，所以有：定理1集合A为可数集的充分必要条件是A中的全部元素可以排成没有重复项的无穷序列：a1，a2，…，an，…形式，即A＝｛a1，a2，…，an，…｝。证：设A是可数的，则N与A间存在一个一一对应f，于是A中的元素可以排成一个序列a1，a2，a3,…，an，…，其中()nfna。3设A的全部元素可以排成没有重复项的序列a1，a2，…，an，…的形式，则A是无穷的，令()fnn，则f是从A到N的一个一一对应，从而A是可数的。说明：（1）由此定理知例题中的各个集合都是可数的是显然的。把I排成：0，1，-1，2，-2，3，-3，…把偶数集E排成：0，2，-2，4，-4，…等等。（2）有的书把此定理作为定义。定理2无穷集A必包含有可数子集。证：从A中取一个元素，记为a1。因为A是无穷集，所以A\｛a1｝仍是无穷集，故可以在A\｛a1｝再取一个元素，记为a2。一般地，假如已得到了不相同元素a1，a2，…，an，那么由于A\｛a1，a2，…，an｝是无穷集，所以又可以从12\{,,,}nAaaa中取一个元素，记为an+1。如此继续下去，便得到了一个无穷集合M＝｛a1，a2，…，an，…｝。显然，M是可数集且MA。说明：此定理说明可数集是无穷集中“最小”的。定理3：可数集的任一无限子集也是可数的。证：设A为可数集，则A的全部元素可以排成一个没有重复项的无穷序列：a1，a2，…，an，…。设B是A的一个无穷子集，依次观察上述序列，不时发现B的元素，按发现B的元素的早晚次序依次对应N的元素1，2，3，…。由于BA，所以,bBb必在上述序列中出现，从而必对应N中的某个元素。再由B是无穷集可知B是可数集合。说明：这个定理再次说明了可数集是无穷集合是“最小”的。推论1：从可数集A中除去一个有限集M，则A\M仍是可数集。定理4设A是可数集，M是有限集，则AM是可数集。证：因A是可数集，所以可设A＝｛a1，a2，…，an，…｝。令P＝AM且12\{,,,}rMPbbb，则A(\)AMAM\PMP且＝（）的元素可排列成b1，b2，…，br，a1，a2，…，an，…因此，AM是可数集。定理5两个可数集的并仍然是可数集。4证：设A＝｛a1，a2，…，an…｝，B＝｛b1，b2，…，bn，…｝均是可数集。不妨设AB，即无公共元素，则AB的元素可以排列如下的无限序列形式：a1，b1，a2，b2，…，an，bn，…由定理可知，AB是可数的。推论1有限个可数集之并仍然是可数的。〔或设A1，A2，…，An（1n）都是可数集，则1niAi也是可数集。〕证：因为A1，A2，…，An都是可数集，不失一般性可设它们是两两不相交且A1＝｛a11，a12，…，a1n…｝A2＝｛a21，a22，…，a2n…｝………………An＝｛an1，an2，…，ann…｝则1niAi的全部元素可排成如下的序列a11，a21，…，an1，a12，a22，…，an2，a31，…由定理1，1niAi是可数集。推论2可数个有限集之并至多可数。即若A1，A2，…，An，…是有限集合的无穷序列，则1iAi或为有限集，或为可数集。推论3可数个可数集之并仍然是可数集。即设A1，A2，…，An，…为可数集合的一个无穷序列，则1iAi是数集。证：不妨设A1，A2，…，An，…是两两不相交的。由于每个An是可数集，所以可设A1，A2，…的全部元素可排成如下的无限表阵：5111121314122122232423313233343nnnAaaaaaAaaaaaAaaaaa的元素排为……的元素排为……的元素排为……4414243444nAaaaaa的元素排为…………………按表中箭头所指的方向对这些元素进行排列就得到了1nnA的全部元素的一个序列。由定理可知，1nnA是可数集。说明：若A1，A2，…，An，…不是两两不相交的，则令B1＝A，11\()2,3,kkkiiBAAk，…于是ijBBΦ,,,1,2,3,ijij…。而且1nnA＝1nnB。再由上面的证明便得1nnA是可数集。定理6全体有理数之集Q是可数集。证：因为{0}QQQ。显然，~QQ。因此只须证明Q是可数集即可。我们知道，每个正有理数均可写成p/q的形式，其中p与q为自然数。于是，qN，令{}qpApNq，则qA是可数集，并且1qqQA。由定理可知，Q是可数集。因此，Q是可数集。推论4区间〔0，1〕中的一切有理数之集是可数集。[0,1][0,1][0,1]中有理数－可数的中无理数－不可数的。*1.4代数数推论5整系数代数多项式的全体是一个可数集。6201210,12,,12(,),nnnnnaaxaxaxaaaaAAAA是可数的。定义5整系数代数多项式的根称为代数数。非代数数称为超越数（超越了代数的能力）。由于每个多项式仅有有限个根，而整系数代数多项式的全体之集又是可数的，所以有定理7代数数的全体是可数的。1.5无穷集合定理8设M是一个无穷集，A是有限或可数集，则~MMA。证：因为M是一个无穷集，所以由定理可知M必有一个可数子集D。令P＝M\D，则MAPDAMPD，＝（）由P～P，DAD～，得到MMA～。定理9设M是一个无穷不可数集，A是M的至多可数子集（即A有穷或可数），则M～M\A。证：因为M是无穷不可数集，A至多可数，所以M\A是无穷集。由定理可知，\~(\)MAMAA，即M\A~M。所以M~M\A说明：（1）此定理中M是无穷不可数集的假设可以改为M是无穷集且M\A也是无穷集。（2）由定理3，推论1以及定理8得到，每个无穷集必与其自身的某个真子集对等，但有限集却没有此性质。于是得到无穷集合的一个正面定义。定义6凡能与自身的一个真子集对等的集合称为无穷集合，或无穷集合。定理10设N是自然数集合，则NN是可数集。证：NN中元素可以排成如下形式：(1,1)(1,2)(1,3)…(2,1)(2,2)(2,3)…(3,1)(3,2)(3,3)…（4,1)(4,2)(4,3)…7按上面箭头所指的方向排列这些元素，则这样排列后就在NN与自然数集合N之间建立了一个一一对应，从而NN是可数集。推论1：设A和B是可数集，则AB也是可数集合。证：设A和Ｂ是可数集合，则有1212{,,,,},{,,,}mnAaaaBbbb。令:fABNN，(,)mnabAB，(,)(,)mnfaamn容易验证，f是一个一一对应，所以AB是可数集。推论2设A1，A2，…，An（2n）都是可数集，则A1×A2×…×An也是可数集。证：对ｎ施行归纳证明。当ｎ＝2时，由推论1显然成立。假设ｎ＝ｋ时，推论成立，往证当ｎ＝ｋ+1时定理也成立。为此令Ｄ=A1×A2×…×Ak，则由归纳假设Ｄ是可数集。再由ｎ＝2时的证明：A1×A2×…×Aｋ×Aｋ+1也是可数集，故A1×A2×…×Aｋ×Aｋ+1是可数集，推论得证。§2连续统集在上节中讨论了无穷集中“最小的”集－可数集的性质。然而是否存在不可数的无穷集呢？下面的定理回答了这个问题。2.1不可数集的存在定理1区间〔0，1〕中的所有实数构成的集合是不可数无穷集合。证：区间〔0，1〕中的每个实数，都可以写成十进制无限位小数形式0.a1a2a3…，其中每个{0,1,2,}ia…，9。若其中某些数有两种表示形式，例如，10.5002…＝0.4999…。1＝0.999…，1＝1.000…。约定每个有限位小数后均补以无限多0，这样每个小数都有唯一的十进制无穷位小数表示形式。假设定理不成立，则〔0，1〕中的全体实数之集是可数集。于是〔0，1〕中的全体实数可排成一个无穷序列：a1，a2，a3，…，an，…。每个aｉ写成十进制无限小数形式排成下表81111213122122232331323330.0.0.nnnaaaaaaaaaaaaaaa＝＝　　　　　　　　　　　　（１）………………………………1230.nnnnnnaaaaa＝………………………………其中{0,1,2,}ija,9。今构造一个新的小数ｂ，1230.,nbbbbb每个{0,1,2,,9}ib，其定义为2,1,1,2,3,1,1nnnnnabna若若。显然，b〔0，1〕。但,nNba。可是，b〔0，1〕，由假设，ｂ又必与某个na相等，这就得到矛盾。所以，〔0，1〕中所有实数之集是不可数无穷集合。说明：（1）定理1的证明方法，构造与a1，a2，…，an，…每个均不相等的小数1230.bbbb的方法称为“cantor的对角线法”。其基本思想就是ｂ1,ｂ2,ｂ3,…与表（1）中“对角线”上的元素a11，a22，a33，…分别不相等，从而保证了ｂ与每个ａｉ不相等。对角线法是一个重要的方法。（2）现在得到了另一种与自然数集合Ｎ不是一一对应的无穷集〔0，1〕，这是无穷集合的另一类型，以〔0，1〕作为这一类型的典型代表（标准），便得到如下定义。2.2连续统集的定义定义1：凡与〔0，1〕对等的集合称为具有“连续统的势”的集合，简称连续统。例：设ａ与ｂ为实数且ａ＜ｂ，则区间〔ａ，ｂ〕中的一切实数之集（仍记为〔ａ，ｂ〕）是一个连续统。证：令:[0,1][,],[0,