2011中考数学复习课件18.二次函数的图象与性质

第18课时二次函数的图象和性质复习指南［学生用书P24］本课时复习主要解决下列问题.1.二次函数的图象和性质的运用此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例1，例2；［限时集训］中的第1，3,4，5,6,8,9，13题.2.求二次函数的解析式此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例3；［限时集训］中的第7题.3.二次函数图象的平移问题此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例4.4.二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与方程、不等式等的相关问题此内容为本课时的难点.为此设计了［归类探究］中的例5；［限时集训］中的第2，10题.5.二次函数的综合运用此内容为本课时的难点.为此设计了［归类探究］中的例6；［限时集训］中的第11，12，14，15题.考点管理［学生用书P24］1.二次函数的概念定义：形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数.注意：二次项系数a≠0.2.二次函数的图象及性质3.二次函数的三种形式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0).顶点式：y=a(x-m)2+k(a≠0).两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).4.二次函数系数a,b,c与图象的关系a的作用：决定开口的方向和大小.（1）a＞0开口向上，a＜0开口向下;（2）|a|越大，抛物线的开口越小.b的作用：决定顶点的位置.（1）b与a同号时，顶点在y轴的左边;（2）b与a异号时，顶点在y轴的右边;（3）b=0时，顶点在y轴上.口诀：左（对称轴在y轴左边）同（a，b同号）右（对称轴在y轴右边）异（a,b异号）.c的作用：决定抛物线与y轴的交点的位置.（1）c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上;（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上;（3）c=0时，抛物线过原点.口诀：上（抛物线与y轴的交点在y轴正半轴）正（c＞0）下（抛物线与y轴的交点在y轴负半轴）负（c＜0）.5.二次函数图象的平移平移方法：注意：将抛物线y=ax2+bx(a≠0)用配方法化y=(a≠0)的形式，而任意抛物线y=a(x-h)2+均可由y=ax2平移得到.6.二次函数与一元二次方程的关系关系：二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的实数根.归类探究［学生用书P24］类型之一二次函数的图象和性质已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图18-1所示，给出以下结论：①a＞0;②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是（）A.3B.2C.1D.0【解析】因为抛物线的开口向下，所以a0,故①错误;抛物线与x轴交于点（-1，0）、（3，0），所以当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0；观察图象知抛物线的对称轴为x=1，所以②、③正确，选B.B【点悟】抛物线的开口方向确定a的正负.开口向上，a＞0，开口向下，a＜0；抛物线与x轴交点的横坐标x1,x2就是函数值y为0时x的值，并且有抛物线的对称轴x=x1+x2类型之二从二次函数的图象中获取信息［2010·钦州］已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图18-2所示，则下列结论：①ac0；②a-b+c0；③当x0时，y0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于－1的实数根．其中错误的结论有（）CA.②③B.②④C.①③D.①④【解析】①∵a＜0,c＞0,∴ac＜0,错；②当x=-1时，对应y的值小于0，∴a-b+c＜0,正确；③y轴左边靠近y轴的抛物线有x＜0,y＞0，错；④图象与x轴的交点在（-1，0）的右边，正确，故选C.【点悟】明确抛物线与a、b、c符号的关系是解此类题的关键.类型之三二次函数的解析式［2010·滨州］如图18-3，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，3），以点C为顶点的抛物线y=ax+bx+c恰好经过x轴上A、B两点．(1)求A、B、C三点的坐标；(2)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？【解析】（1）由抛物线的对称性和菱形性质证△OAD≌△MBC,再根据OD=3分别求出各点的坐标.（2）用待定系数法.（3）将D点的纵坐标直接减去解析式在y轴的截距即可得到平移单位.解：(1)由抛物线的对称性可知AM=BM．在Rt△AOD和Rt△BMC中，∵OD=MC，AD=BC，∴△AOD≌△BMC，∴OA=MB=MA.设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，m2+(3)2=（2m），解得m=1，∴DC=2，OA=1，OB=3，∴A、B、C三点的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(2,3).(2)设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3，代入A点的坐标(1,0)，得a=-3，∴抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+3.(3)设平移后的抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+k，代入D点的坐标(0,3)，得k=53,∴平移后的抛物线的解析式为y=-3(x-2)2+53，∴平移了53-3=43个单位．【点悟】（1）由点的坐标代入二次函数解析式中列方程组是求函数解析式的常用方法.(2)已知二次函数的顶点坐标求二次函数的解析式，常列顶点式求解.类型之四二次函数的平移［2010·毕节］把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2－3x＋5，则（）A.b=3，c=7B.b=6，c=3C.b=－9，c=－5D.b=－9，c=21【点悟】二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作.A类型之五二次函数与方程、不等式的关系［2010·中山］已知二次函数y=－x2+bx+c的图象如图18-4所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．【解析】（1）用待定系数法求b、c;(2)抛物线在x轴上面一部分所对应x的范围即为所求.解：（1）把（-1，0），（0，3）分别代入y=－x2+bx+c，得－1－b+c=0，c=3，解得b=2，c=3，所以y=－x2+2x+3.（2）令y=0，得－x2+2x+3=0，解得x1=－1，x2=3，所以由图象可知函数值y为正数时，自变量x的取值范围是-1＜x＜3．【点悟】类型之六二次函数的综合运用［2010·东营］如图18-5，已知二次函数y=ax2－4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小，请求出点P的坐标．【解析】（1）由已知的两个点的坐标可求得待定字母.（2）根据轴对称性质作C与A关于对称轴对称，连接CB交对称轴于点P，P点即为所求.解：（1）根据题意，得0=a×(－1)2－4×(－1)+c,－5=a×0－4×0+c，解得a=1,c=－5，∴二次函数的表达式为y=x2－4x－5．（2）令y=0，得二次函数y=x2－4x－5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5,0）.由于P是对称轴x=2上一点，连接AB，由于AB=OA2+OB2=26，要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小即可.由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间线段最短，可得PA+PB的最小值为BC.因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点.设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意，可得b=－5,0=5k+b，解得k=1,b=－5，所以直线BC的解析式为y=x－5.因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组x=2,y=x－5的解，解得x=2,y=－3，所求的点P的坐标为（2，-3）.【点悟】（1）已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程（组）求解.(2)已知二次函数图象上的某一点（顶点除外）和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标.(3)注意化归思想的应用，注意把某一问题转化为等价的另一个问题，方便解答.