北师版中考数学常见的问题在解题中的应用

第二部分第二课时：常见的数学问题在解题中的应用思想方法提炼感悟、渗透、应用思想方法提炼数学思想和方法是初中数学的基础知识，数学学习中要提高我们分析问题和解决问题的能力，形成用数学的意识解决问题，这些都离不开数学思想和数学方法；在平时的学习中可能已经学到了很多的思想与方法，但有时未明确提出它们的具体名称，故以下将它们进行小结、归纳一下，以便能更好地去理解并掌握.4.能熟练运用待定系数法、换元法、配方法、图象法等数学方法解决问题.3.掌握并能运用方程思想、不等式思想、函数思想、统计思想、整体代换思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等数学思想方法进行分析问题与解决问题.1.理解分析法，会用分析法探求出解题、证明思路，以寻求最佳的解题方法.2.理解归纳法、类比法的推理方法，会运用演绎法，综合法书写解题、证题的过程.感悟、渗透、应用一、方程与不等式思想【例1】(2003年·江西)已知关于x的方程x王2-m=2x有两个不相等的实数根，求m的取值范围.【解析】利用根的判别式Δ和解不等式的知识可求.∵x2-2x-m=0解：Δ=(-2)2-4×1×(-m)=4+4m＞0∴m＞-1即当m＞-1时，原方程有两个不等的实根.【例2】(2003年·河南省)若单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，则nm的值是()A.-3B.-1C.1/3D.3C【分析】据同类项的定义，运用方程的思想即可求得.31n3n1m72m2n5n2mm解：，故选择C.二、函数思想：【例3】(2004年·南京市)某地举办乒乓球比赛的费用y(元)包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b(元)，另一部分与参加比赛的人数x(人)成正比例。当x=20时，y=1600,当x=30时,y=2000.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？解：（1）设y=kx+b.根据题意,得解得k=40,b=800∴y与x之间的函数关系式是:y=40x+800..,2000bk301600bk20(2)每名运动员需要支付56元。二、函数思想：【例4】(2003年·哈尔滨市)若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是()A.m＜0B.m＞0C.m＜1/2D.m＞1/2【分析】根据正比例函数的图象及其性质知，只有当一次项系数小于零时，才有y随x增大而减小的性质.解：1-2m＜0∴m＞1/2故选择D.D【例5】(2003·哈尔滨市)如图所示，是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是()D【例6】(2003年·昆明市)某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问抗击“非典”一线的医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回；已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少?并说明理由.【分析】运用函数思想、不等式思想及图象法等综合解题.解：(1)y甲=9x(x≥3000)y乙=8x+5000(x≥3000)(2)方法一：当y甲=y乙时，即9x=8x+5000解得x=5000∴x=5000千克时，两种付费方案一样.当y甲＜y乙时，有解得3000≤x＜5000∴3000千克≤x＜5000千克时，选择甲方案付款最少当y甲＞y乙时，即9x＞8x+5000解得x＞5000.∴x＞5000千克时，选择乙方案付款最少.方法二：图象法，作出它们的函数图象(如图)由函数图象可得，当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，选择甲方案付款最少；当购买最等于5000千克时，两种方案付款一样；当购买最大于5000千克时，选择乙方案付款最少.【例7】(2003年·山东省烟台市)设a、b、c都是实数，且满足(2-a)2++｜c+8｜=0，ax2+bx+c=0，求代数式x2+x+1的值.cba2【分析】由非负性知识求出a、b、c的值，再代入到ax2+bx+c=0中，最后运用整体代换求值.解：∵2-a=0且a2+b+c=0且c+8=0∴a=2b=4c=-8∴2x2+4x-8=0即x2+2x-4=0∴x=-1±即x+1=±而x2+x+1=(x+1)2-x=(±)2-(-1±)=6±25255三、整体代换思想：【例8】(2004年·河北省)若x1,x2是一元二次方程x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值为()A.5/4B.9/4C.11/4D.74521249xx2xxxx21xx2323xx2122122212121)(A解：由韦达定理知：四、数形结合思想【例9】(2004年·甘肃省)如图所示，已知a0,则函数的图像大致是()xayaxy21,A【例10】(2003年·山西省)二次函数y=x王2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时，对应x的取值范围是【解析】由顶点坐标公式得令y=0则x2+2x-3=0∴x=-3或x=1∴x取值范围为：-3＜x＜13c2b44bc412b2【例11】(2003年·山西省)如图Z2-5所示，AB是⊙O为直径，PB切⊙O于点B，PA交于⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x2-6x+(m2+4m+13)=0(其中m为实数)的两根.(1)求证：BE=BD；(2)若GE·EF=63，求∠A的度数.【解析】(1)∵BE、BD是关于x的方程x2-6x+(m2+4m+13)=0的两根∴Δ=-4(m+2)2≥0∴Δ＝-4(m+2)2＝0∴m=-2故原方程为：x2-6x+9＝0∴x1=x2=3∴BE=BD=3(2)由相交弦定理得AE·BE=GE·FE=63∴AE=23又∵PB切⊙O于点B，AB为⊙O直径∴∠ABP=∠ACB=90°又∵BE=BD=3∴∠1=∠2∴∠1=∠A+4，∠2=∠3+∠5又∵∠5=∠A∴∠3=∠4易证△PBC∽△PAB∴△PBD∽△PAE∴∴∴sin∠A=∴∠A=60°PAPBABBCPAPBAEBDAEBDABBC23323AEBDABBC五、转化思想【例12】(2003年·广东省)已知：x1，x2为方程x2+px+q=0的两根，且x1+x2=6，x２1+x22=20，求p和q的值【分析】将x21+x22转化为两根之和与两根之积的形式，再利用整体代换知识代入计算即可得.解：∵x1+x2=-px1·x2=q∴-p=6且x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-p)2-2q=20∴q=8【例13】已知：x2-4x+1=0，求x-1/x的值【分析】先将方程两边同除以x，转化为x+1/x的形式，再利用变形知识得(x-1/x)2=(x+1/x)2-4即可求值.解：∵x-4+1/x=0∴x+1/x=4而(x-1/x)2=(x+1/x)2-4=42-4=12六、分类讨论思想【例14】(2002年·重庆市)已知：二次函数y=-4x2-2mx+m2与反比例函数y=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m的值是x4m2【分析】二次函数和反比例函数的图象在第二象限内有交点，故两解析式联立的方程组有解，消去y，将-2代入x，即可求出m的值.解：∵-4x2-2mx+m2=且x=-2∴m2+5m-14=0∴m1=-7m2=2当m=-7时，反比例函数y=-的图象在第二、四象限内，符合题意.当m=2时，反比例函数y=的图象在第一、三象限内，不合题意，故m≠2.综上所述，得m=-7.x4m2x10x8；们谋划壹个美好的未来。第壹卷第九十八章感动“王爷这是要将民女带到什么地方？王爷的侧福晋不在王府吗？”面对玉盈咄咄逼人的问话，他却是壹丝壹毫的怒气都没有，反而觉得玉盈姑娘即使是生气都是这么的可爱：眉头微微地蹙着，壹双凤眼挑衅般地投来毫不友善的目光，本来是怒气冲冲的话语，但由她这吴侬软语说出来，婉转如黄鹂，动人心弦。况且，这件事情本来就是他做错了，她要是不生气才奇怪呢。既然是自己做错了，那就赶快表明态度，争取尽早获得她的原谅：“玉盈姑娘，这件事情，确实是爷做错了，还请年大姑奶奶息怒。”“您怎么知道民女被家人称作姑奶奶？是凝儿告诉您的？”“你的事情，爷知道得多了，不过，爷有壹个小小的请求，以后，能否不要总是用‘民女’来自称？”“恕‘民女’愚钝，实在是想不出来任何壹个比这个更符合礼制、更符合身份的自称！”“既然玉盈姑娘这么愚钝，那爷就告诉你壹个更符合礼制、更符合身份的自称：玉盈，就是最好的自称，当然，‘盈儿’更好！”“您？这万万不可！民女是您侧福晋的姐姐，如果用那两个自称，简直就是，就是礼坏乐崩！恕民女不能同意！”“那好，本王命令你，从今以后，你只能以‘玉盈’在爷面前自称！”他真是急了，怎么遇见这么壹个顽固不化的丫头！她猛地壹惊，“本王？”这个称呼怎么好像在哪儿听到过？可是，怎么又记不想来了？见她壹时沉思，低头不语，以为她是不好意思地同意了，心中欣喜万分。为了缓和刚才因为强行要求她改变称呼而造成的剑拔驽张的尴尬气氛，也是为了解释壹下今天骗她出来的行为，于是他小心翼翼地开口说道：“玉盈姑娘，今天的事情，爷实在是事出无奈！爷想带你去壹个地方，可是，如果不用这个法子，爷担心人多嘴杂，走露了风声，你，还是壹个未出阁的姑娘，爷不想你的名节，毁在了爷的手里。爷承认这件事情做得不太合适，但是，希望玉盈姑娘看在爷壹片真情、事出有因的份上，原谅爷的唐突和鲁莽。”此番话说下来，玉盈惊呆了。刚刚他还拿“本王”来压制她，强迫她改变自称，可是现在的这番话，是如此的真挚，如此的诚恳，完完全全是为了她考虑，如此的体贴，如此的细心，怎么能不令她感动？更何况，他是高高在上的王爷，贵为皇子，却能对她这无权无势的壹介草民，又是道歉又是认错，还要她原谅他的唐突和鲁莽，她怎么可能不感动？可是，她又怎么能感动？他是凝儿的夫君，她的妹夫，这是他们之间永远也不可能逾越的鸿沟！凝儿是全家人的掌上明珠、心肝宝贝，她怎么可能跟凝儿抢夫君？这不仅仅是伤了妹妹心的问题，更是让年家颜面扫地、被世人耻笑的问题！年家，将会因为她而成为众人的笑柄，她就是这样