北师版九年级数学一元二次方程导学案

1第1课时一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。2、了解一元二次方程的解或近似解。3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02cbxax（a、b、c、为常数，0a）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。（2）02cbxax（a、b、c、为常数，0a）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。（3）在02cbxax（0a）中，a，b，c通常表示已知数。(4)强调（0a）2、一元二次方程的解：当某一x的取值使得这个方程中的cbxax2的值为0，x的值即是一元二次方程02cbxax的解。【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是①042yy；②0322xx；③312x；④bxax2；⑤xx322；⑥043xx；⑦22t；⑧0332xxx；⑨)0(2abxax例2、（1）关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax2+5=(x+2)(x－1)是关于x的一元二次方程，则a__________.（3）关于x的方程135)32(12xxmmm是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）2x2―x+1=0(2)－5x2+1=6x(3)(x+1)2=2x(4)8432xx2例4、（1）某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得（）A.5(1+x)=9B.5(1+x)2=9C.5(1+x)+5(1+x)2=9D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9（2）某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x，则方程为_____________.例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?（列出方程）例6、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?【练习】一、选择题31、下列关于x的方程：①1.5x2+1=0；②2.3x2+x1+1=0；③3.4x2=ax(其中a为常数)；④2x2+3x=0；⑤5132x=2x；中，一元二次方程的个数是（）A、1B、2C、3D、42、方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是（）A.x2－5x+5=0B.x2+5x+5=0C.x2+5x－5=0D.x2+5=03、一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（）A.7x2,2x,0B.7x2,－2x，无常数项C.7x2,0,2xD.7x2,－2x,04、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则（）A.a+b+c=1B.a－b+c=0C.a+b+c=0D.a－b－c=0二、填空题1、将13)34(xxx化为一般形式为__________，此时它的二次项系数是.__________，一次项系数是__________，常数项是__________。2、如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为___________.3、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x，可得方程为_____________.4、某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x，则方程为___________.5、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为_____________.三、解答题1、某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？【课后作业】一、填空题1、方程5(x2－2x+1)=－32x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.2、若关于x的方程053)1(2axxa是一元二次方程，这时a的取值范围是________3、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程_________.二、选择题1、下列方程中，不是一元二次方程的是()4A.2x2+7=0B.2x2+23x+1=0C.5x2+x1+4=0D.3x2+(1+x)2+1=02、方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是()A.x2－5x+5=0B.x2+5x+5=0C.x2+5x－5=0D.x2+5=03、一元二次方程51272xx的二次项、一次项、常数项依次是()A.7x2,2x,1B.7x2,－2x，无常数项C.7x2,0,2xD.7x2,－2x,-44、方程x2－3=(3－2)x化为一般形式，它的各项系数之和可能是()A.2B.－2C.32D.32215、若关于x的方程（ax+b）(d－cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac，则常数项为()A.mB.－bdC.bd－mD.－(bd－m)6、若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是()A.2B.－2C.0D.不等于27、若x=-1是方程ax2+bx+c=0的解，则()A.a+b+c=1B.a－b+c=0C.-a+b+c=0D.a－b－c=0第2课时一元二次方程（配方法）【学习目标】1、会用开平方法解形如)0()(2nnmx的方程。2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。53、经历列解方程解决实际问题的过程，体会转化的数学思想，增强数学应用意识和能力。【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成)0()(2aabx的形式（2）直接开平方，解得abxabx21,2、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。3、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02cbxax中a不等于1，必须两边同时除以a，使得二次项系数为1.（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。（4）用直接开平方法求出方程的根。【经典例题】例1、解下列方程：（1）x2=4（2）(x+3)2=9例2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+=(x+6)2（2）x2+8x+=(x+)2（3）x2―12x+=(x―)2例3、用配方法解方程（1）x2+4x―5=0（2）0122xx（3）03832xx6例4、请你尝试证明关于x的方程012)208(22mxxmm，不论m取何值，该方程都是一元二次方程。【经典练习】一、填空题1、若x2=225，则x1=__________,x2=__________.2、若9x2－25=0，则x1=__________,x2=__________.3、填写适当的数使下式成立.①x2+6x+______=(x+3)2②x2－______x+1=(x－1)2③x2+4x+______=(x+______)24、为了利用配方法解方程x2－6x－6=0，我们可移项得___________，方程两边都加上_________，得_____________，化为___________.解此方程得x1=_________，x2=_________.二、选择题1、方程5x2+75=0的根是（）A.5B.－5C.±5D.无实根2、方程3x2－1=0的解是（）A.x=±31B.x=±3C.x=±33D.x=±33、一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）A.(x－1)2=m2+1B.(x－1)2=m－1C.(x－1)2=1－mD.(x－1)2=m+14、用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（）A.加41B.加21C.减41D.减215、已知xy=9，x－y=－3，则x2+3xy+y2的值为（）A.27B.9C.54D.187三、计算题（用配方法解下列方程）（1）162x（2）4)2(2x(3)x2+5x－1=0(4)2x2－4x－1=0(5)41x2－6x+3=0(6)x2－x+6=0（7）0342xx（8）025122xx（9）xx6132（10）012222xx第3课时一元二次方程（公式法）【学习目标】1、学会一元二次方程求根公式的推导2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的内在联系。【知识要点】1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：8对于一元二次方程02cbxax其中0a，由配方法有22244)2(aacbabx，（1）当042acb时，得aacbbx242；（2）当042acb时，一元二次方程无实数解。2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：（1）必须把一元二次方程化成一般式02cbxax，以明确a、b、c的值；（2）再计算acb42的值：①当042acb时，方程有实数解，其解为：aacbbx242；②当042acb时，方程无实数解。【经典例题】例1、推导求根公式：02cbxax（0a）例2、利用公式解方程：（1）0222xx（2）4722xx（3）0142xx（4）010342xx例3、已知a，b，c均为实数，且122aa＋｜b＋1｜＋(c＋3)2＝0，解方程02cbxax9例4、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x－1与B=3x2－2相等吗？例5、一元二次方程(m－1)x2＋3m2x＋(m2＋3m－4)＝0有一根为零，求m的值及另一根．【经典练习】1、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）A.x1、2=24312122B.x1、2=24312122C.x1、2=24312122D.x1、2=32434)12()12(22、方程x2+3x=14的解是（）A.x=2653B.x=2653C.x=2233D.x=22333、下列各数中，是方程x2－(1+5)x+5=0的解的有()①1+5②1－5③1④－5A.0个B.1个C.2个D.3个5、若代数式x2－6x＋5的值等于12，那么x的值为()A．1或5B．7或－1C．－1或－5D．－7或16、关于x的方程3x2－2(3m－1)x＋2m＝15有一个根为－2，则m的值等于()A．2B．－21C．－2D．217、当x为何值时，代数式2x2＋7x－1与4x＋1的值相等?9、用公式法解下列各方程（1）x2+6x+9=7（2）017122xx10（3）08242xx（4）05322xx（5）012xx（6）01532xx（7）4)3)(12(xx（8）02)82(42yy（9）02322xx（10）0112yyyy（11）1852xx（12）02332222nmnmnxmxx【课后作业】1、方程(x