数列的函数特征

丰城九中高一数学组从数列表示的角度理解数列的函数特性数列是一种特殊函数,其定义域是正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3，…,n}),值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值.00000000确定数列的增减性确定数列的增减性的方法判断数列是递增数列还是递减数列,关键是比较相邻两项an+1与an的大小,常见的比较方法有两种：一是作差比较法.(1)an+1-an0⇔an+1an⇔数列{an}是递增数列.(2)an+1-an0⇔an+1an⇔数列{an}是递减数列.(3)an+1-an=0⇔an+1=an⇔数列{an}是常数列.二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式,用作商法比作差法更简便一些.an＞0递增数列递减数列常数列an＜0递减数列递增数列常数列n1na1a＞n1na01a＜＜n1na1a在利用作商比较法时，要确保数列的每一项都不是零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较.【例1】已知数列{an}的通项公式为an=-8n，判断数列{an}的单调性.【审题指导】解决本题的关键是正确采取比较的方式，比较an+1与an的大小，也可用函数的观点判断.【规范解答】方法一：根据题意可知则an+1-an=(n+1)2-8(n+1)-(n2-8n)由数列的定义域为正整数集可知，当0n8时，an+1-an0，数列是递减数列；当n≥8时，an+1-an0，数列是递增数列.2n1an8n2，121215n2，21n2方法二：由于本题数列的通项公式为an=n2-8n对应的函数是f(x)=x2-8x，定义域为正整数集，根据函数的单调性可知：对称轴是x=8，所以当0n8时数列是递减数列；当n≥8时，数列是递增数列.1212数列的函数性质的应用数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函数关系可知：数列的通项an与n的关系公式就是函数f(x)的解析式,所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途径.数列的函数性质的应用【例2】设函数f(x)＝log2x－logx2(0x1)，数列{an}满足f()=2n(n∈N+).(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列的单调性.【审题指导】解决本题的关键是把函数的解析式通过关系式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进行作差，判断与零的大小或者作商判断与1的大小，从而判断数列的单调性.na2【规范解答】(1)f()＝log2-log2=an－，所以an－＝2n⇒－2nan－1＝0，所以an＝.因为x∈(0,1)，所以∈(0,1)，所以an0.所以an＝.(2)方法一：an＋1－an＝(n＋1)－＝＝n1an1a2na2nn1na2na2an22nn1－22n11(nn1)221(n11n1)－222n12n1110.n1nn11n1－－＝na2所以，即数列{an}是递增数列.方法二：∵又∵an0，∴an＋1an，∴数列{an}是递增数列.n1naa＋2n12nn1n11aann122nn11n1n11，【典例】(12分)一个数列的通项公式为an＝30＋n－n2.(1)问－60是否为这个数列中的项？(2)当n分别为何值时，an＝0，an0，an0；(3)当n为何值时，an有最大值，并求出最大值.【审题指导】本题的解决关键是用函数的观点思考解决数列问题，三问逐步深入递进，首先第一问判断是否是数列的项，代入验证判断求出的n是否为正整数即可，第二问和第三问，结合二次函数进行判断求解.【规范解答】(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，∴n＝10或n＝－9(舍)，…………………………………2分∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60.…………4分(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0.…………6分结合数列{an}的图像可知当n等于1,2,3,4,5时，an0.当n6且n∈N+时，an0.…………………………………8分(3)an＝30＋n－n2＝又∵n∈N+，故当n＝1时，an有最大值，其最大值为30.…………12分21121(n)24－－＋，【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：常见错误错误原因第二问n=-5解出了n的值后，没有考虑n的定义域，直接下结论导致错误，事实上，解决这类问题需要特别注意n的取值范围.第三问n=在利用二次函数的性质进行配方求解数列的最值时，忽略了n只能取正整数这一问题，导致错误，一般地借助函数解决数列问题时，都需要认真考虑定义域.12