28.2 解直角三角形课件

锐角三角函数sinA、cosA、tanA、cotA分别等于直角三角形中哪两条边的比？回顾新课导入ABC┓珠穆朗玛峰，海拔8844.43米，为世界第一高峰，位于喜马拉雅山中段之中尼边界上、西藏日喀则地区定日县正南方．峰顶终年积雪，一派圣洁景象．珠峰地区拥有4座8000米以上、38座7000米以上的山峰，被誉为地球第三级．珠穆朗玛峰那么高，它的高度是怎样测出来的？测量珠峰高程，首先确定珠峰海拔高程起算点．我国是以青岛验潮站的黄海海水面为海拔零起始点（水准原点），因为测绘人员已取得西藏拉孜县相对青岛水准原点的精确高程，测量队只需要从拉孜起测．前半程仍采用传统而精确的水准测量法，每隔几十米竖立一个标杆，通过水准仪测出高差，一站一站地将高差累加起来就可得出准确数字．这样一直传递到珠峰脚下6个峰顶交会测量点．当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理，推算出峰顶相对于这几个点的高程差．最后，通过进行重力、大气等多方面的改正计算，确定珠峰高程．GPS测量，则是将GPS测量设备带至峰顶直接获取数据，然后通过一系列的复杂计算取得珠峰精确高程．【知识与能力】1．掌握直角三角形的边角关系；2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【过程与方法】通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步分析问题、解决问题的能力．【情感态度与价值观】通过本节的学习，渗透数形结合的数学思想，培养良好的学习习惯．教学目标重点：直角三角形的解法．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学重难点直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ABCabc┓5个6个元素三边两个锐角一个直角（已知）ABCabc┓△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b＝3，∠A＝30°，求∠B，a，c．ABCabc330°???┓（1）三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）锐角之间的关系∠A＋∠B＝90º（3）边角之间的关系解直角三角形的依据ABCabc┓asinAcbcosAcatanAbbcotaa在下图的Rt△ABC中，（1）根据∠A=60°，斜边AB=6，试求出这个直角三角形的其他元素．CAB┓∠B＝30°；AC＝3，BC＝33探究（2）根据AC=3，斜边AB=6，试求出这个直角三角形的其他元素？CAB┓∠B＝30°；∠A＝60，BC＝33在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可求出其余的元素．结论知识要点解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫解直角三角形．【例1】在△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠B＝40°，解这个直角三角形(精确到0.1)．CBA┓abc解：∠A＝90°－40°＝50°．400606848sinAsin.,aasinA.,ca..222284864bca..【例2】在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，，求∠A、∠B、c边．b11解：22225116cab()5086asinA.c∴∠A≈56.1°，∴∠B＝90°－56.1°＝32.9°．CBA┓abc（1）在△ABC中，∠C＝90°，b＝30，c＝40，解直角三角形．a107∠A＝41.4°∠B＝48.6°小练习CBA┓abc（2）△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，Ⅰ．a＝6，sinA＝，求b，c，tanA；Ⅱ．a＋c＝12，b＝8，求a，c，sinB．25Ⅰ．b＝c＝1532122121tanAⅡ．261033122613a,c,sinBCBA┓abc（3）在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个三角形．a≈213．3．b≈192．7．∠A＝47°54′．已知两边两直角边一斜边，一直角边一边一角一锐角，一直角边一锐角，一斜边归纳已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切余切理当然；已知两边求一角，函数关系要选好；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除．优选关系式仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．方向角如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南【例3】如图，在上海黄埔江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄埔江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°，后退400m到A点测得塔尖D的仰角为30°，设塔底C与A、B在同一直线上，试求该塔的高度．ACBD30°45°解:设塔高CD=xm在Rt△BCD中，∵∠DNC=45°∴BC=x∴CA=400+x在Rt△ACD中，∵∠DAC=30°∴AC=xtan60°=400+x340200(31)31x∴塔高CD为m．200(31)（1）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1500米，从飞机上看地平面控制点B的俯角a=25°，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．ABC┓α小练习解：在Rt△ABC中sinACBAB12003000.0()sinsin250.4ACACABB米ABC┓α答：飞机A到控制点B距离为3000.0米．∴（2）如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=82°．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为45m，当时水位为+2m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到0.01m）．小练习解：cot,45243307.14()cotcot820.14ACABCACBCmA所以观察所A到船只B的水平距离BC为307.14m．【例4】如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ABDCPP145˚60˚答：货轮有触礁危险．∵∠PBA=60˚，∠P1CA=30˚，∴∠ABC=30˚，∠ACD=30˚，在Rt△ADC中，CD=AD•cot∠ACD=x•cot60˚，在Rt△ADB中，BD=AD•cot45˚=x•cot45˚，∵BD－CD＝BC，BC＝18∴x•cot45˚-x•cot60˚=18∴x＝≈9×(3＋1.732)=42.58845解：过点A作AD⊥BC于D，设AD=x189334560()cotcot（1）如图，一艘渔船正以40海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看某小岛C在船的北偏东60°，半个小时后，渔船行止B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．已知以小岛C为中心，周围15海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能?小练习解：设BD=x海里由题意得AB=20，∴AD=20+x在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD=ADtan30°=BDtan60°∴x=10所以这艘渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区．32033(x)x10601031732CDtan.15（2）正午8点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于20海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？（精确到1分）．10时44分小练习60°AOBC（3）如图，海岛A的周围15海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行16海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？有触礁的危险小练习【例5】燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是45°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC（精确到1mm）．解：等腰梯形中，AD=180mm，AE=70mm，∠B=45°AE⊥BCAEtanBBE2270180320BCBEEFFCBEAD707045AEBEtanBtan∵∴又∵BE=EC∴答：它的里口宽BC长为320mm．遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD（精确到0.01米）．AC约为5.77米AD约为2.89米小练习（2）如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于E，AB=10，DE=6，cosA=，求CD的长．35CD的长为1小练习坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度、坡角htan()hi坡角【例6】（1）如图，温州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为30cm，深为30cm．为方便残废人士，现拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度．（sin12°≈0.2079）解：在Rt△BDC中，∠C=12°∴AC=282－60=222（cm）由题意得，BD=60tanBDCCD60tantan12BDCDC602820.2126（2）如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）．上述问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．5.56.0()cos0.9135ACABA米解：在Rt△ABC中，ACcosAAB∴答：斜坡上相邻两树的坡面距离是6米．（1）如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=500m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远（精确到0.1m），正好能使A、C、E成一条直线？小练习解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．∴∠BED=∠ABD－∠D=90°∴DE=BD·cosD=500×0.6428=321.400≈321.4（m）答：开挖点E离D为321.4米，正好能使A、C、E成一直线．（2）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1:2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．坝底AD的宽为132.5m，斜坡AB的长为72.7m．小练习（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：归纳（1）三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）锐角之间的关系∠A＋∠B＝90º（3）边角之间的关系1．解直角三角形的依据ABCabc┓asinAcbcosAcatanAbbcotAa课堂小结（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．在△ABC中，∠C=90°，解这个直角三角形．⑴∠A=60°，斜边上的高CD=；3⑵∠A=60°，a+b=3+．302460ACABcosAcos解：（1）∠B=90°-∠A=30°0326