二项式定理的练习及答案

..二项式定理的练习及答案基础知识训练（一）选择题1．6)x2x(展开式中常数项是（）A.第4项B.464C2C.46CD.22．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是（）A.-2048B.-1023C.-1024D.10243．7)21(展开式中有理项的项数是（）A.4B.5C.6D.74．若n17C与mnC同时有最大值，则m等于（）A.4或5B.5或6C.3或4D.55．设(2x-3)4=44332210xaxaxaxaa，则a0+a1+a2+a3的值为（）A.1B.16C.-15D.156．113)x1x(展开式中的中间两项为（）A.5125121111,CxCxB.695101111,CxCxC.513591111,CxCxD.5175131111,CxCx（二）填空题7．在7)y31x2(展开式中，x5y2的系数是8．nnn2n21n0nC3C3C3C9.203)515(的展开式中的有理项是展开式的第项10．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是11．1032)xx3x31(展开式中系数最大的项是12．0.9915精确到0.01的近似值是（三）解答题13．求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数14．求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆..15．已知(1-2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3，求x的取值范围16．若)Nnm()x1()x1()x(fnm展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？17．自然数n为偶数时，求证：1nnn1nn4n3n2n1n23CC2CC2CC2118．求1180被9除的余数19．已知n2)x2x(的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆..20．在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数21．求(2x+1)12展开式中系数最大的项参考解答：1．通项rr236r6rr6r61r2xC)x2(xCT，由4r0r236，常数项是44652CT，选（B）2．设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f)1(f11，选（C）3．通项2rr7rr71r2C)2(CT，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选（A）4．要使n17C最大，因为17为奇数，则2117n或8n2117n或n=9，若n=8，要使m8C最大，则m=28=4，若n=9，要使m9C最大，则219m或4m219m或m=5，综上知，m=4或m=5，故选（A）5.C6.C7.3224;8.4n;9.3,9,15,2110．(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为3511．(1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16=151530xC.12.0.9915=(1-0.009)5=96.0009.0CC150513．93102)x1)(x1()x1)(xx1(,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项449)x(C作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项)x(C19作奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆..积，故x4的系数是135CC491914．)x1(1])x1(1)[x1(x1)x1()x1(10102）（=xxx)1()1(11，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为711C15．由10141041101)2()2()2(225150515xxxxCxCCxC16．由条件得m+n=21，x2的项为22n22mxCxC，则.4399)221n(CC22n2m因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小17．原式=1n1nn1nn5n3n1nnn1nn2n1n0n2.322)CCCC()CCCCC(18.)(1811818181)181(80101110111110111111ZkkCCC,∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴1181被9除余819．依题意2n4n2n4nC14C33:14C:C∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10设第r+1项为常数项，又2r510r10rr2r10r101rxC)2()x2()x(CT令2r02r510，.180)2(CT221012此所求常数项为18020．5552)2x()1x()2x3x(在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为x5C15，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为x80x2C415∴展开式中含x的项为x240)32(x5)x80(1，此展开式中x的系数为24021．设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有1r12r121r12r12r111r12r12r12r131r12r12r12CC2C2C12C2C2C2C4r,314r313奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆..∴展开式中系数最大项为第5项，T5=44412x7920xC16三.拓展性例题分析例1在二项式nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C21)(CrnrrnrrnrnrxxxT前三项的.2,1,0r得系数为：)1(8141C,2121C,123121nntnttnn，由已知：)1(8112312nnnttt，∴8n通项公式为1431681,82,1,021CrrrrrTrxT为有理项，故r316是4的倍数，∴.8,4,0r依次得到有理项为228889448541256121C,83521C,xxTxxTxT．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为n3．例2（1）求103)1()1(xx展开式中5x的系数；（2）求6)21(xx展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(xx展开式中的5x可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x展开式中的常数项乘以10)1(x展开式中的5x项，可以得到5510Cx；用..3)1(x展开式中的一次项乘以10)1(x展开式中的4x项可得到54104410C3)C)(3(xxx；用3)1(x中的2x乘以10)1(x展开式中的3x可得到531033102C3C3xxx；用3)1(x中的3x项乘以10)1(x展开式中的2x项可得到521022103CC3xxx，合并同类项得5x项为：5521031041051063)CC3CC(xx．（2）2121xxxx1251)21(xxxx．由121xx展开式的通项公式rrrrrrxxT61212121C1)2(C，可得展开式的常数项为924C612．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．例3求62)1(xx展开式中5x的系数．分析：62)1(xx不是二项式，我们可以通过22)1(1xxxx或)(12xx把它看成二项式展开．解：方法一：6262)1()1(xxxx44256)1(15)1(6)1(xxxxx其中含5x的项为55145355566C15C6Cxxxx．含5x项的系数为6．方法二：6262)(1)1(xxxx62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61xxxxxxxxxxxx其中含5x的项为555566)4(15)3(20xxxx．∴5x项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(xx看成6个21xx相乘，每个因式各取一项相乘..可得到乘积的一项，5x项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到556Cx．3个因式中取x，一个取2x，两个取1得到)(CC231336xx．1个因式中取x，两个取2x，三个取1得到222516)(CCxx．合并同类项为5525161336566)CCCC(Cxx，5x项的系数为6．例4求证：（1）1212CC2Cnnnnnnn；（2）)12(11C11C31C21C1210nnnnnnnn．分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nnnnnn2CCCC210．解：（1）11C)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!Cknknnknknnknknknknkk∴左边111101CCCnnnnnnn11111012)CCC(nnnnnnn右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C11knknknknkkkn11C11)!()!1()!1(11knnknknn．∴左边112111C11C11C11nnnnnnn)12(11)CC(C111112111nnnnnnn右边．说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：例5：求10C2C2C2C22108107910810109的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(的展开式接近，但要注意：..10101099102210110010102C2C2C2CC)21(10101091092102C2C2C21021)C2C2C210(21101099108210从而可以得到：)13(21C2C2C21010101099108210．例6利用二项式定理证明：98322nn是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322nn是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93nnn，将其展开后各项含有k8，与28的倍数联系起来．解：∵98322nn98)18(98911nn