考研数学三真题(完整版)

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学12012201220122012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1:1:1:1∼8888小题，每小题4444分，共32323232分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221xxyx+=−渐近线的条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数2()(1)(2)()xxnxyxeeen=−−−⋯,其中n为正整数,则(0)y′=()(A)1(1)(1)!nn−−−(B)(1)(1)!nn−−(C)1(1)!nn−−(D)(1)!nn−(3)如果函数(,)fxy在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是()(A)若极限00(,)limxyfxyxy→→+存在,则(,)fxy在(0,0)处可微(B)若极限2200(,)limxyfxyxy→→+存在,则(,)fxy在(0,0)处可微(C)若(,)fxy在(0,0)处可微,则极限00(,)limxyfxyxy→→+存在(D)若(,)fxy在(0,0)处可微,则极限2200(,)limxyfxyxy→→+存在(4)设20sin(1,2,3)kxKexdxkπ==∫I则有()(A)123III(B)321III(C)231III(D)213III(5)设1100Cα⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,2201Cα⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,3311Cα⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠,4411Cα−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,其中1234,,,CCCC为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)123,,ααα(B)124,,ααα(C)134,,ααα(D)234,,ααα(6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1100010002pAP−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1QAQ−=()2012年全国硕士研究生入学统一考试数学2(A)100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(B)100010002⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(C)200010002⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(D)200020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(7)设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}pXY=()(A)15(B)13(C)25(D)45(8)将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为()(A)1(B)12(C)12−(D)1−二、填空题：9999∼14141414小题,每小题4444分,共24242424分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)若函数()fx满足方程'''()()2()0fxfxfx+−=及''()()2fxfxe+=，则()fx=(10)2202dxxxx=−∫(11)(2,1,1)()|zgradxy+y=(12)设(){},,1,0,0,0xyzxyzxyz∑=++=≥≥≥，则2yds∑=∫∫(13)设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵TEXX−的秩为(14)设A,B,C是随机变量，A与C互不相容，()()()11,,23pABPCpABC===三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21lncos1(11)12xxxxxx++≥+−−(16)求函数222(,)xyfxyxe+−=的极值(17)求幂级数22044321nnnnxn∞=+++∑的收敛域及和函数(18)已知曲线(),:(0),cos2xftLtytπ=⎧≤⎨=⎩其中函数()ft具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2ffttπ=若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()ft的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。(19)已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2xyx=到点(2,0)，再沿圆周22+4xy=到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d(2)dLJxyxxxyy=++−∫2012年全国硕士研究生入学统一考试数学3(20)(本题满分分)设10010101,00100010aaAaaβ⎡⎤⎛⎞⎜⎟⎢⎥−⎜⎟⎢⎥==⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠（I）计算行列式;A(II)当实数a为何值时，方程组Axβ=有无穷多解，并求其通解。(21)已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥−⎣⎦，二次型123(,,)()TTfxxxxAAx=的秩为2（1）求实数a的值；（2）求正交变换xQy=将f化为标准型.（22）设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为0120140141013021120112（Ⅰ）求{}2PXY=；（Ⅱ）求Cov(,)XYY−.(23)设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布2(,)Nuσ与2(,2)Nuσ，其中σ是未知参数且0σ。设.ZXY=−(1)求Z的概率密度2(,);fzσ（2）设12,,,nzzz⋯为来自总体Z的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ⌢（3）证明2σ⌢为2σ的无偏估计量数一参考答案一、选择题12345678CCBDCBAD二、填空题2012年全国硕士研究生入学统一考试数学49、xe；10、2π；11、{}1,1,1；12、312；13、2；14、34三、解答题(15)证明：令()21lncos112xxfxxxx+=+−−−，()fx是偶函数()212lnsin11xxfxxxxx+′=+−−−−()00f′=()()()222221411cos1111xxfxxxxx−+′′=++−−+−−()()222244cos12011xxx=−−≥−−−所以()()00fxf≥=即证得：()21lncos11112xxxxxx++≥+−−(16)解：()()()()()2222222222222,10,0xyxyxyxyfxyexexexxfxyxeyy+++−−−+−⎧∂=+−=−=⎪∂⎪⎨∂⎪=−=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0PP−()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1xyxyxyxyfxyxeexxxfxyexyxyfxyxeyy++−−+−+−⎧∂=−+−−⎪∂⎪⎪∂⎪=−−⎨∂∂⎪⎪∂⎪=−∂⎪⎩根据判断极值的第二充分条件，把()11,0,P−代入二阶偏导数B=0，A0，C0，所以()11,0,P−为极小值点，极小值为()121,0fe−−=−把()21,0P代入二阶偏导数B=0，A0，C0，所以()21,0P为极大值点，极大值为()121,0fe−=2012年全国硕士研究生入学统一考试数学5(17)解：（Ⅰ）收敛域22(1)122222211443()4432(1)121limlimlim4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1nnnnnnnnnxaxnnnnRxxnnaxnnnxn++→∞→∞→∞+−++⋅+++++===⋅⋅=+++++++++⋅++令21x，得11x−，当1x=±时，技术发散。所以，收敛域为(1,1)−（Ⅱ）设222222000443(21)22()[(21)](1)212121nnnnnnnnnnSxxxnxxxnnn∞∞∞===++++===+++++∑∑∑令210()(21)nnSxnx∞−=+∑，2202()21nnSxxn∞−=+∑因为221120000()(21)(1)1xxnnnnxStdtntdtxxx∞∞+===+==−∑∑∫∫所以212221()()(1)1(1)xxSxxxx+′==−−因为21202()21nnxSxxn∞+−=+∑所以2222001[()]222(1)1nnnnxSxxxxx∞∞−−′===⋅−∑∑所以220001111[()]2()ln(1)1111xxxxtStdtdtdtxtttx+′=⋅=+=−+−−∫∫∫即201()ln1xxxSxx+=−，故21()ln1xxSxx+=−当0x≠时，211()ln1xSxxx+=−当0x=时，12(0)1,(0)2SS==所以，22212111ln(1,0)(0,1)()()()(1)130xxxSxSxSxxxxx⎧+++∈−∪⎪=+=−−⎨⎪=⎩(18)解：曲线L在任一处(,)xy的切线斜率为sin()dytdxft−=′，过该点(,)xy处的切线为2012年全国硕士研究生入学统一考试数学6sincos(())()tYtXftft−−=−′。令0Y=得()cot()Xfttft′=+。由于曲线L与x轴和y轴的交点到切点的距离恒为1.故有22[()cot()()]cos1fttftftt′+−+=，又因为'()0(0)2fttπ所以sin()cottftt′=，两边同时取不定积分可得()lnsectansinfttttC=+−+，又由于(0)0f=，所以C=0故函数()lnsectansinftttt=+−此曲线L与x轴和y轴所围成的无边界的区域的面积为：20cos()4Stftdtππ′==∫(19)解：补充曲线1L沿y轴由点(2,0)到点(0,0),D为曲线L和1L围城的区域。由格林公式可得原式=1123233d(2)d3d(2)dLLLxyxxxyyxyxxxyy+++−−++−∫∫=1122(313)(2)12DLDLxxdydydydyσσ+−−−=+∫∫∫∫∫∫22222001121244222ydyyππππ=⋅⋅−⋅⋅−=−=−∫(20)解：（I）4141001000010=101(1)10100100101001aaaaAaaaaaaa+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=×+×−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(II)对方程组Axβ=的增广矩阵初等行变换：2321001100110010101010101010010001000100010001001aaaaaaaaaaaaaaa⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦421001010100100001aaaaaa⎡⎤⎢⎥−⎢⎥→⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦可知，要使方程组Axβ=有无穷多解，则有410a−=且20aa−−=，可知1a=−2012年全国硕士研究生入学统一考试数学7此时，方程组Axβ=的增广矩阵变为11001011010011000000−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦，进一步化为最简形得10010010110011000000−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦可知导出组的基础解系为1111⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，非齐次方程的特解为0100⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，故其通解为10111010k⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠(21)解：（1）由二次型的秩为2，知()2TrAA=，故()()2TrArAA==对矩阵A初等变换得101101101101011011011011100010010010101001000aaaaaaa⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因()2rA=，所以1a=−（2）令202022224TBAA⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠202202102022(2)22(2)122(2)(6)0224024024EBλλλλλλλλλλλλλλ−−−−−−=−−=−−−−=−−−−=−−=−−−−−−−所以B的特征值为1230,2,6λλλ===对于10λ=，解1()0EBXλ−=得对应的特征向量为1(1,1,1)Tα=−对于22λ=，解2()0EBXλ−=得对应的特征向量为2(1,1,0)Tα=−对于36λ=，解3()0EBXλ−=得对应的特征向量为3(1,1,2)Tα=将123,,ααα单位化可得1211111111,1,1326102ηηη⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠2012年全国硕士研究