大一微积分复习资料

-1-大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。二．复习要求1、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。3、牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中⑴.对于对数函数lnyx不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数xye互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算：lnvuvue⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。5、知道分段函数，隐函数的概念。.三．例题选解例1.试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？⑴.2sinxye⑵.21arctan()1yx分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。解：⑴.2,,sinuyeuvvx⑵.21arctan,,1.yuuvxv例2.cotyarcx的定义域、值域各是什么？cot1arc＝？答：cotyarcx是cot,(0,)yxx的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cotyarcx的定义域是(,)fD，值域为(0,)fZ.cot14arc四．练习题及参考答案1.()arctanfxx则f(x)定义域为，值域为f(1)=；(0)f.2.()arcsinfxx则f(x)定义域为，值域为f(1)=；3()2f.3.分解下列函数为简单函数的复合：⑴.3xye⑵.3ln(1)yx答案：1.（-∞+∞）,(,)22,,04-2-2.1,1,,,,2223.3.⑴.,3uyeux⑵.3ln,1.yuux自我复习：习题一.（A）55．⑴、⑵、⑶；习题一.（B）.11.第二章极限与连续一．本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。二．复习要求1．了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等。2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：01sinlimsin0,lim0xxxxxx3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：当()x0时,有：sin()x～()x；tan()x～()x()1xe～()x;ln(1())x～()x;1()1nx～()xn1cos()x～2()2x.…….（参见教材P79）4.掌握两个重要极限:(Ⅰ).0sinlim1xxx(Ⅱ).101lim(1)lim(1)xxxxexx记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求1型未定式极限：10lim(1)lim(1)xkxxxkekxx10lim(1)lim(1)xkxxxkekxx5.掌握函数连续的概念，知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于0()fx，即：00lim()()xxfxfx当分段函数在分段点0x的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件则是：000lim()lim()()xxxxfxfxfx.6.掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数()fx在0x点间断，必至少有下列三种情况之一发生：⑴、()fx在0x点无定义；⑵、0lim()xxfx不存在；⑶、存在0lim()xxfx，但00lim()()xxfxfx.若0x为()fx的间断点，当)(lim0xfxx及)(lim0xfxx都存在时，称0x为()fx的第一类间断-3-点，特别)(lim0xfxx＝)(lim0xfxx时（即0lim()xxfx存在时），称0x为()fx的可去间断点；)(lim)(lim00xfxfxxxx时称0x为()fx的跳跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。三.例题选解例1.单项选择题⑴下列极限中正确的是（）A.sinlim1xxxB.1sinlim11xxxC.20sinlim1xxxD.0tanlim1xxx⑵当0x时，2121x是2sinx的（）A.低阶无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；D.等价无穷小；分析与解：⑴．A与C显然都不对，对于D,记tan()xfxx，则tan0()tan0xxxfxxxx∴00tanlim()lim1xxxfxx00tanlim()lim1xxxfxx0lim()xfx即D也不对，剩下的B就是正确答案。⑵．由于22222200021212limlimlim1sinxxxxxxxxx代换∴应选择D.例3.求极限：⑴0limx2ln(1)1cosxx⑵limx2()5xxx解:⑴此极限为00型∵当0x时，有2ln(1)x～2()x,1cosx～22x∴0limx2ln(1)1cosxx220lim22xxx⑵此极限为1型，可用重要极限。limx2()5xxx＝xxx)531(limxxxxx5335)531(limxxxxx5335)531(lim3e.)353lim53lim(xxxxxx例2．判断函数2296xyxx的间断点，并判断其类型。-4-解：由于229(3)+3)6(3)(2)xxxyxxxx（∴3,2xx是函数y无定义的点，因而是函数y的间断点。∵33(3)(3)36limlim(3)(2)25xxxxxxxx∴3x为函数y的可去间断点；∵22(3)(3)3limlim(3)(2)2xxxxxxxx∴2x为函数y的第二类（无穷型）间断。例3．函数21cos2()00xfxxxxk在点0x处连续，求常数k.分析与解：由于分段函数()fx在分段点0x的左右两边表达式相同，因此()fx在0x连续的充要条件是0lim()(0).xfxfk∵2220001cos82lim()limlimxxxxxfxxx代换1.8∴1.8k四.练习题及参考答案1.填空⑴.当0x时，(1)sin2xex与(11)ln(12)xx相比，是__________________无穷小；⑵.21lim()23xxxx__________________；⑶.220[cos(3)1]tan3lim(1)ln(15)xxxxex______________.2.单项选择题⑴．设2(3)(2)56xxyxx，下面说法正确的是________；A.点3,2xx都是可去间断点；B.点2x是跳跃间断点，点3x是无穷间断点；C.点2x是可去间断点，点3x是无穷间断点；D.点2x是可去间断点，点3x是跳跃间断点；⑵．下面正确的是______________.A.0tanlim1xxx；B.01limsin0xxx；C.0tanlimxxx不存在；D.0tanlim1xxx.答案:1.⑴.同阶而不等价的；⑵.2e；⑶.320.2.⑴.C;⑵.B.自我复习.习题二(A)11.(4).24.⑴,(4),⑺.27.⑴.(4).28.⑴,⑵.30.⑵.37．⑴,⑶.习题二(B).14.第三章导数与微分一.本章重点.导数的概念，导数及微分的计算.二.复习要求1.掌握函数x在0x处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念，x在0x处的导数的定-5-义式常用的有如下三种形式：0000()()()limxfxxfxfxx000()()limhfxhfxh000()()limxxfxfxxx.2.知道导数的几何意义，会求x在0x处的切线方程。3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导；⑵复合函数求导法；⑶隐函数求导法；⑷取对数求导法。4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。6.掌握函数可微,可导及连续的关系。三.例题选解例1.求下列函数的导数：⑴．2(1)yfx＋，求,.yy⑵．y=3xx,求.y.⑶．设y=tanxe，求dy⑷.3ln(1)yx,求y解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：221()(1)yfxx＋＋2(1)2fxx22(1)xfx.222(1)2(1)2yfxxfxx2222(1)4(1)fxxfx⑵本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。原方程两边取对数：ln3lnyxx上式两边对x求导，视y为中间变量:'yy=31ln323xxxx31ln12yyxx331ln12xxxx132ln3(1)2xxx注：本题除此方法外，也可以：xxeyln3)13ln3321(ln3xxxxeyxx⑶．∵tan(tan)xyextan2secxex.∴tan2secxdyexdx⑷.2331xyx322326(1)33(1)xxxxyx3323(2)(1)xxx例2.设x在1x处可导,且'(1)2.求1(43)lim1xxx分析:将x在1x处的导数的定义式理解为结构式:(1)=0(1)(1)lim其中为1xx或x的函数.且当0x-6-时,0即可.解:11(43)lim1(1)]lim(3)3(1)3(1)6xxxxxxf例3．求曲线3333xyaxya在点0,a处的切线方程。解：显然，点0,a在曲线上，现求切线的斜率，即(0,)ya曲线方程两边对x求导：2233330xyyayaxy解得22ayxyyax∴(0,)ya＝1切线方程为：yax即yxa例4、设21()000xefxxxx试讨论()fx在0x处的连续性及可导性。分析与解：由已知，(0)0f；（1）讨论()fx在0x处的连续性。∵200201lim()limlim0(0).xxxxefxxxfx代换＝＝∴()fx在0x处连续。（2）讨论()fx在