椭圆复习课(经典的)

抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考知识要点：1．考查利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的问题．2．考查椭圆的标准方程及其几何性质，利用椭圆的几何性质求离心率等问题．椭圆平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆．圆的定义AMrrMAMp|||符合上述定义集合可表示为椭圆定义的引入F1F2平面内与两个定点的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．12,FF12||FF二.讲授新课：F1F2M1.椭圆定义：两定点距离|F1F2|——焦距（一般用2c表示）绳长|MF1|+|MF2|=2aF1、F2——焦点注：一、椭圆的定义：1F2FM几点说明：1、F1、F2是两个不同的定点2、M是椭圆上任意一点，且|MF1|+|MF2|=常数3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a2c（？）4、如果2a=2c，则M点的轨迹是线段F1F25、如果2a2c，则M点的轨迹不存在抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点梳理1．椭圆的定义(1)在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做．这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集．椭圆焦点焦距a＞ca＝ca＜c抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考)0(12222babxay总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式012222babyax焦点在y轴：焦点在x轴：3.椭圆的标准方程:1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x2y焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.焦点位置的判断方法抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a性质对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考性质顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为；短轴B1B2的长为___焦距|F1F2|＝___离心率e＝∈______a，b，c的关系c2＝_________2a2b2cca(0,1)a2－b2抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【助学·微博】一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程x2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔nm0.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考两种方法求椭圆方程的两种方法：(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程；(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案D考点自测1．椭圆x216＋y28＝1的离心率为()．A.13B.12C.33D.22解析由题意知：a2＝16，b2＝8，c2＝a2－b2＝16－8＝8.∴c＝22，∴e＝ca＝224＝22.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案B4．(2013·福州模拟)已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是()．A.x216＋y27＝1B.x216＋y27＝1或x27＋y216＝1C.x216＋y225＝1D.x216＋y225＝1或x225＋y216＝1解析∵a＝4，e＝34，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x216＋y27＝1或x27＋y216＝1.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解析根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案65．已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[审题视点]利用定义法或待定系数法求解．考向二求椭圆的标准方程【例2】►(2013·西安模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解析法一椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a＝25.由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考法二因为所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考又点(3，－5)在所求椭圆上，所以－52a2＋32b2＝1，即5a2＋3b2＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案y220＋x24＝1抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解析设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，由已知条件得2a＝5＋3，2c2＝52－32，解得a＝4，c＝2，b2＝12.故所求方程为x216＋y212＝1或y216＋x212＝1.答案x216＋y212＝1或y216＋x212＝1抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向三椭圆几何性质的应用【例3】►(2012·安徽)如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[审题视点](1)利用△AF1F2是等边三角形建立a，b，c的方程，再转化为离心率e的方程即可求解；(2)结合第一问中的离心率、已知和本问中的条件△AF1B的面积为403，建立关于a，b的方程组直接求解．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，则a＝2c，所以e＝12.(2)法一a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－3(x－c)，将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B85c，－335c，所以|AB|＝1＋3·85c－0＝165c.由S△AF1B＝12|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝12a·165c·32＝235a2＝403，解得a＝10，b＝53.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考法二设|AB|＝t(t0)．因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，t＝85a.由S△AF1B＝12a·85a·32＝235a2＝403知，a＝10，b＝53.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练3】(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()．A.45B.35C.25D.15抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)(2013·福州质检)直线y＝－3x与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()．A.32B.3－12C.3－1D．4－23抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案(1)B(2)C解析(1)由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝35或e＝－1(舍去)．(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c，由y＝－3x，得∠AOF2＝2π3，∠AOF1＝π3.∴|AF2|＝3c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＋3c＝2a，∴e＝ca＝3－1.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案B2．椭圆x24＋y23＝1的右焦点到直线y＝3x的距离是()．A.12B.32C．1D.3解析椭圆x24＋y23＝1的右焦点为(1,0)，由点到直线的距离公式得32.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考3．(2012·上海)对于常数m，n，“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案B解析∵mn0，∴m0，n0或m0，n0，当m0，n0，且m≠n时，方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，但m0，n0时，方程mx2＋ny2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆时有mn0，所以“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案C【训练1】已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()．A．23B．6C．43D．12解析由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝43.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考用待定系数法求椭圆标准方程时，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向一椭圆定义的应用【例1】►(2012·中山调研)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[审题视点]关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1→⊥PF2→进而求解．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案3解析由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→⊥PF2→，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，(勾股定理)∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|