2012年高考理科数学全国卷1(含答案解析)

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）数学（理科）适用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、山西、河南、新疆、云南、河北、内蒙古注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5}A,{(,)|,,}BxyxAyAxyA,则B中所含元素的个数为（）A.3B.6C.8D.102.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（）A.12种B.10种C.9种D.8种3.下面是关于复数21iz的四个命题：1:||2pz；22:2ipz；3:pz的共轭复数为1i；4:pz的虚部为1.其中的真命题为（）A.23,ppB.12,ppC.24,ppD.34,pp4.设1F,2F是椭圆E：22221(0)xyabab的左、右焦点,P为直线32ax上一点,21FPF△是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为（）A.12B.23C.34D.455.已知{}na为等比数列,472aa,568aa,则110aa（）A.7B.5C.5D.76.如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)NN≥和实数1a,2a,,Na,输出A,B,则（）A.AB为1a,2a,,Na的和B.2AB为1a,2a,,Na的算术平均数C.A和B分别是1a,2a,,Na中最大的数和最小的数D.A和B分别是1a,2a,,Na中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（）A.6B.9C.12D.188.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线216yx的准线交于A,B两点,||43AB,则C的实轴长为（）A.2B.22C.4D.89.已知0,函数π()sin()4fxx在π(,π)2上单调递减,则的取值范围是（）A.15[,]24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]10.已知函数1()ln(1)fxxx,则()yfx的图象大致为（）ABCD11.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC△是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC,则此棱锥的体积为（）A.26B.36C.23D.2212.设点P在曲线1e2xy上,点Q在曲线ln(2)yx上,则||PQ的最小值为（）A.1ln2B.2(1ln2)C.1ln2D.2(1ln2)第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a,b夹角为45,且||1a,2|10|ab,则||b_________.14.设x,y满足约束条件1300xyxyxy≥，≤，≥，≥，则2zxy的取值范围为_________.15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正姓名________________准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________.16.数列{}na满足1(1)21nnnaan,则{}na的前60项和为_________.三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知a,b,c分别为ABC△三个内角A,B,C的对边,cos3sin0aCaCbc.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若2a,ABC△的面积为3,求b,c.18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝,nN）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝）,整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量的概率.（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润（单位：元）,求X的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABCABC中,112ACBCAA,D是棱1AA的中点,1DCBD⊥.（Ⅰ）证明：1DCBC⊥；（Ⅱ）求二面角11ABDC的大小.20.（本小题满分12分）设抛物线C：22(0)xpyp的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.（Ⅰ）若90BFD,ABD△的面积为42,求p的值及圆F的方程；（Ⅱ）若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.（本小题满分12分）设函数121()(1)e(0)2xfxffxx.（Ⅰ）求()fx的解析式及单调区间；（Ⅱ）若21()2fxxaxb≥,求(1)ab的最大值.请考生在第22～24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,D,E分别为ABC△边AB,AC的中点,直线DE交ABC△的外接圆于F,G两点.若CFAB∥,证明：（Ⅰ）CDBC；（Ⅱ）BCDGBD△∽△.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程是2cos,3sinxy（为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程是2,正方形ABCD的顶点都在2C上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为π(2,)3.（Ⅰ）求点A,B,C,D的直角坐标；（Ⅱ）设P为1C上任意一点,求2222||||||||PAPBPCPD的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|fxxax.（Ⅰ）当3a时,求不等式()3fx≥的解集；（Ⅱ）若()4|fxx≤|的解集包含[1,2],求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题FGDEABC数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）1.【答案】D【解析】选D法一：按xy的值为1，2，3，4计数，共432110个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x，小的是y，共2510C种选法．【提示】由题意，根据集合B中的元素属性对xy，进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【考点】元素与集合关系的判断．2.【答案】A【解析】选A只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224CC种安排方案．【提示】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【考点】排列，组合及简单计数问题．3.【答案】C【解析】选C经计算，221i,2i1izz．【提示】由22(1i)1i1i(1+i)(1i)z，1iz，知1p：2z||=，2p：22iz，3p：z的共轭复数为1i，4pz：的虚部为1，由此能求出结果．【考点】复数的基本概念，命题的真假判断与应用．4.【答案】C【解析】选C画图易得，21FPF△是底角为30的等腰三角形可得212||||PFFF，即3222acc，所以3e4ca．【提示】利用21FPF△是底角为30°的等腰三角形，可得212||||PFFF，根据P为直线32ax上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【考点】椭圆的简单性质．5.【答案】D【解析】选D472aa，56478aaaa，4742aa，或4724aa，，1a，4a，7a，10a成等比数列，1107aa．【提示】由472aa，及56478aaaa可求4a，7a，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求1a，10a，即可【考点】等比数列的性质，等比数列的通项公式．6.【答案】C【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出12naaa，，，中最大的数和最小的数其中A为12naaa，，，中最大的数，B为12naaa，，，中最小的数【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出12naaa，，中最大的数和最小的数．【考点】循环结构．7.【答案】B【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为，1132323932V．故选B【提示】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【考点】由三视图求面积、体积．8.【答案】C【解析】选C易知点(4,23)在222xya上，得24a，24a．【提示】设等轴双曲线C：222xya(0)a216yx，的准线l：4x，由C与抛物线216yx的准线交于A，B两点，||43AB，能求出C的实轴长．【考点】圆锥曲线的综合．9.【答案】A【解析】选A由{}nb得，154224kk，kZ，15024．【提示】法一：通过特殊值2、1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【考点】由sin()yAx的部分图象确定其解析式．10.【答案】B【解析】选B易知ln(1)0yxx对(1,)x恒成立，当且仅当0x时，取等号．【提示】考虑函数()fx的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，D，这一性质可利用导数加以证明【考点】对数函数图象与性质的综合应用，对数函数的图像与性质．11.【答案】A【解析】选A易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍．显然OABC是棱长为1的正四面体，其高为63，故136234312OABCV，226SABCOABCVV【提示】先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．【考点】球内接多面体，棱柱、棱锥、棱台的体积．12.【答案】B【解析】选B1e2xy与ln(2)yx互为反函数，曲线1e2xy与曲线ln(