最佳平方逼近

1.函数逼近在数值计算中经常遇到求函数值的问题，手算时常常通过函数表求得，用计算机计算时若把函数表存入内存进行查表，则占用单元太多，不如直接用公式计算方便。因此，我们希望求出便于计算且计算量省的公式近似已知函数f(x)，例如，泰勒展开式的部分和就是f(x)的一种近似公式，用它求x0附近的函数值f(x)，误差较小，当|x-x0|较大时，误差就很大。例如nnnxxnxfxxxfxfxp)(!)()(!1)(')()(00)(000f(x)=ex在[-1,1]上用：432424161211)(xxxxxp近似ex，其误差：exxpexRx5441201)()(于是0226.0120)(max1201)(41154exRexxRx误差分布如图：xy-11它在整个区间上误差较大，若在计算机上用这种方法计算ex，如精度要求较高，则需取很多项，这样即费时又多占存储单元。因此，我们要求在给定精度下计算次数最少的近似公式，这就是函数逼近要解决的问题。定义近似代替又称为逼近，函数f(x)称为被逼近函数；P(x)称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。函数逼近问题可叙述为：对函数类A中给定的函数f(x)，需要在另一类较简单的便于计算的函数类B（B∈‎A）中，找一个函数P(x)，使P(x)与f(x)之差在某种度量意义下达到最小。函数类A通常是区间[a,b]上的连续函数，记作C[a,b]；函数类B通常是代数多项式，有理多项式，三角多项式，分段多项式等容易计算的函数。最常用的度量标准有两种：1、一致逼近（均匀逼近）以作为度量误差f(x)-P(x)的“大小”标准。2、平方逼近（均方逼近）以作为度量误差f(x)-P(x)的“大小”标准。)()(maxxpxfbxadxxpxfba2)()(5.6函数的最佳平方逼近5.6.1最佳平方逼近的概念与解法一、最佳逼近的意义设{0x,1x,,nx}C[a,b],它们线性无关.又给定f(x)C[a,b],求p*(x)HnSpan{0x,1x,,nx},使得f(x)p*(x)在某种意义下最小.二、最佳平方逼近的概念定义对于给定的f(x)C[a,b],若有p*(x)Hn,使得(fp*,fp*)min{(fp,fp)|pHn}.则称p*(x)是(在子空间Hn中)对f(x)的最佳平方逼近函数.(,)()()().bafgxfxgxdx下面用到的内积为定理5.7设f(x)C[a,b]，p*(x)Hn,在Hn中,p*(x)是对f(x)最佳平方逼近的函数(fp*,j)=0,j=0,1,…,n.其中,{0x,1x,,nx}为子空间Hn的一组基.证:()反证法,设有函数kx,使得(fp*,k)k0,令q(x)p*(x)kxk/(k,k),显然,q(x)Hn.利用内积的性质,可得222(,)(,)(*,*)(*,)(,)(,)kkkkkkkkkfqfqfpfpfp2(*,*)(*,*)(,)kkkfpfpfpfpk这说明,p*(x)不是对f(x)最佳平方逼近的函数,矛盾.()若(fp*,j)=0,j=0,1,…,n成立,对任意的p(x)Hn,有(,)(**,**)fpfpfpppfppp(*,*)2(*,*)(*,*)fpfpfppppppp(*,*)0,pppp(,)(*,*)fpfpfpfp故.p*在Hn中是对f的最佳平方逼近函数.证毕.即设f(x)C[a,b],p*(x)Hn,在Hn中,p*(x)是对f(x)最佳平方逼近的函数对任意的p(x)Hn,均有(fp*,p)=0.0*,**,0jnjjjpfccpppf由于及定理5.8设f(x)C[a,b],在子空间Hn中,对f(x)最佳平方逼近的函数是唯一的.证明假定,在Hn中,p(x)和q(x)都是对f(x)最佳平方逼近的函数,由定理5.7的系,知(,)(,)0,fqqpfpqp(,)(,)pqpqpffqpq故这说明,p(x)q(x)于[a,b].(,)(,)0pfpqfqpq三、最佳平方逼近函数的求解利用(fp*,j)=0,可求出最佳平方逼近函数p*.设故这是一个以c*0,c*1,,c*n为未知数的线性方程组.称(5.82)为法方程或正规方程.法方程的矩阵形式是nkkkxcxp0*)()(*nkjjkknkjkkjjfccfpf0*0*(5.82),,,,*,0由于0x,1x,,nx线性无关,可以推得上系数阵是非奇异的.故(5.82)有唯一解{c*j}.四、最佳平方逼近的误差记(fp*,fp*),称其为最佳平方逼近误差,利用(fp*,p*)=0,可有0(*,)(,)(*,)(,)(,).nkkkfpfffpfffcf),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(10**1*0101110101000nnnnnnnnfffccc例6定义内积试在H1=Span{1,x}中寻求对于f(x)=的最佳平方逼近元素p(x).x10)()(),(dxxgxfgf解法方程为5232312121110cc54,15410cc解得10.54154)(xxxp素为所求的最佳平方逼近元当0x,1x,,nx,是正交系时,求解最佳平方逼近式(5.82)中的系数非常容易.0*()().nkkkpxcx(,)()()()0,,bkjkjaxxxdxkj因为故目标:求下面的最佳平方逼近式中的系数0(,)(,)nkkjjkcf变为(,)(,)kkkkcf5.6.2正交系在最佳平方逼近中的应用),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101110101000nnnnnnnnfffccc),(),(),(),(),(),(10101100nnnnfffccc(,),0,1,2,...,(,)kkkkfckn（5.83）一、Legendre多项式的应用给定函数f(x)C[a,b],求f(x)的Legendre最佳平方逼近.Legendre多项式的权函为(x)1,故内积11(,)()()fgfxgxdxL-正交多项式为L0x,L1x,,Lnx,用(5.83),有1()1(,)21()(),0,1,2,...,(,)2（5.84）LkkkkkfLkcLxfxdxknLL()0()(),11nLLkkkpxcLxx函数f的L-最佳平方逼近函数为（5.85）遇到区间[a,b],通过下面的变换把问题转化到[-1,1]上处理..22abbaxt函数f(x)的Legendre无穷级数()0()(),11LkkkfxcLxx例7求函数f(x)ex在[-1,1]上的Legendre三次最佳平方逼近多项式.解:前4个Legendre多项式为23012311()1,(),()(31),()(53).22LxLxxLxxLxxx110111(,)2.3054,(,)0.7358,xxfLedxfLxedx12211(,)(31)0.1431,2xfLxedx13311(,)(53)0.02013.2xfLxxedx11()0000011(,)2011()()11.1752(,)22LxfLcLxfxdxedxLL()11111(,)3(,)1.1036(,)2LfLcfLLL使用1()1(,)21()(),(,)2LkkkkkfLkcLxfxdxLL求系数2.3504,()22222(,)5(,)0.3578,(,)2LfLcfLLL()33333(,)7(,)0.07046.(,)2LfLcfLLL所求三次最佳平方逼近多项式为()()()()011223323()()()()0.99630.99790.53670.1761LLLLLpxccLxcLxcLxxxx11x例8求f(x)=在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.x解.521223),(23,3212121),(21*11111100dtttLgcdttLgc由11),(121)()1(21xtgtxftx则令先求g(t)在区间[-1,1]的一次最佳平方逼近多项式.10.54154)(1xxxp11,5232)(52)(32)(101ttxLxLtq可知把t=2x-1代入q1(x)，就得在区间[0,1]的一次最佳平方逼近多项式:x二、Chebyshev多项式的应用给定函数f(x)C[-1,1],求f(x)的Chebyshev最佳平方逼近.Chebyshev多项式的内积121()()(,)1fxgxfgdxxC-正交多项式为T0x,T1x,,Tnx,函数自己的内积,0(,),02jjjTTjHnSpan{T0,T1,,Tn}中任意函数为121(,)()()2,0,1,2,...(5.87)(,)1kkkkkfTfxTxcdxkTTx•函数f的C-最佳平方逼近函数为01()(),112nnjjjaPxaTxxak函数f(x)的Chebyshev无穷级数11),(2)(10xxTaaxfjjj11),(2)(10xxTaaxpjnjjn（5.86）例9求f(x)=arcsinx按Chebyshev多项式展开的n=7的部分和.解)4,3,2,1()12(14)12cos(221arcsin)(201arcsin)(211)(2)(201121212112227107kkdkdxxxxTadxxxxTaxxTaaxpkkkkjjj49)(25)(9)()(4)(75317xTxTxTxTxp即75374964175288315248105764)()7,5,3,1()(xxxxxp，jxTj得的表达式代入上式右端把11x数学符号x0,x1,,xm,0x,1x,,nx,k=0,1,,nx0n0axbk1,nm,,,ΓΔΘΛΞΦΨΩk0f(x)C[a,b](xj,yj),j=0,1,…,m,ax0x1xmb,,(fp*,fp*),,