lxl-解三角形应用题

1解三角形应用题1、如图1，在扇形AOB中，圆心角等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P(不与点A，B重合)，过点P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC的面积的最大值及此时θ的值.图12、如图2所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图23、如图3所示，甲船以每小时302nmile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20nmile.当甲船航行20min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102nmile.问乙船每小时航行多少海里.图34、如图,一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100km的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在A市南偏东方向距A市500km,且与海岸距离为300km的海上B处有一艘快艇与汽车同时出发,要把一份文件交送给这辆汽车的司机.(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中?(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.(3)若快艇每小时最快行驶75km,快艇应如何行驶才能尽快把文件交到司机手中,最快需多长时间?5为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1km内不能收到手机信号.检查员抽查某一考点,在考点正西约km有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以12km/h的速度沿公路行驶,最长需要多少时间,检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?26如图,某人在塔的正东方向上的C处,在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以6km/h的速度步行了1min以后,在点D处望见塔的底端B在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;(2)求塔的高度AB.答案部分1、【解】∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°.在△POC中，由正弦定理得：OPsin∠PCO＝CPsinθ，即2sin120°＝CPsinθ，∴CP＝43sinθ.又∵OCsin60°－θ＝2sin120°，∴OC＝43sin(60°－θ).∴△POC的面积为S△POC＝12CP·OCsin120°＝12×43sinθ·43sin(60°－θ)×32＝43sinθsin(60°－θ)＝43sinθ32cosθ－12sinθ＝23sin(2θ＋30°)－33，θ∈(0°，60°).∴当θ＝30°时，△POC的面积取得最大值33.2、【解】轮船从点C到点B用时80分钟，从点B到点E用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC＝4EB.设EB＝x，则BC＝4x，由已知得∠BAE＝30°，在△AEC中，由正弦定理得ECsin∠EAC＝AEsinC，即sinC＝AEsin∠EACEC＝5sin150°5x＝12x，在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsinC，即AB＝BCsinCsin120°＝4x×12xsin120°＝43＝433.在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AE2＋AB2－2AE·ABcos30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE＝313(千米).故轮船的速度为v＝313÷2060＝93(千米/时).3、【解】如图所示，连接A1B2.因为A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，所以A1A2＝A2B2.又因为∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，所以△A1A2B2是等边三角形.所以A1B2＝A1A2＝102.又因为A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，得3B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200.所以B1B2＝102.所以乙船的速度为1022060＝302(nmile/h).答：乙船每小时航行302nmile.4、解:(1)如图①所示,设快艇以vkm/h的速度从B处出发,沿BC方向行驶,th后与汽车在C处相遇.图①在△ABC中,AB=500,AC=100t,BC=vt,BD为AC边上的高,BD=300.设∠BAC=α,则sinα=,cosα=.由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcosα,则v2t2=(100t)2+5002-2×500×100t×,整理得v2=+10000=250000+10000-=250000+3600.当,即t=时,=3600,vmin=60.即快艇至少以60km/h的速度行驶才能把文件送到司机手中.(2)当v=60km/h时,在△ABC中,AB=500,AC=100×=625,BC=60×=375.由余弦定理,得cos∠ABC==0,则∠ABC=90°.故快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90°.(3)如图②所示,设快艇以75km/h的速度沿BE行驶,th后与汽车在E处相遇.图②在△ABE中,AB=500,AE=100t,BE=75t,cos∠BAE=.由余弦定理,得(75t)2=5002+(100t)2-2×500×100t×,整理,得7t2-128t+400=0,解得t=4或t=(舍去).当t=4时,AE=400,BE=300,AB2=AE2+BE2,则∠AEB=90°.故快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把文件交到司机手中,最快需要4h.45解:如图,考点为A,检查开始处为B,设公路上C,D两点到考点的距离为1km.在△ABC中,AB=,AC=1,∠ABC=30°,由正弦定理,得sin∠ACB=,所以∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意),所以∠BAC=30°,所以BC=AC=1.在△ACD中,AC=AD,∠ACD=60°,所以△ACD为等边三角形,所以CD=1.因为×60=5,所以在BC上需要5min,CD上需要5min.答:最长需要5min检查员开始收不到信号,并至少持续5min才算合格.6解:(1)依题意知,在△DBC中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=6000×=100(m),∠D=180°-135°-30°=15°.由正弦定理,得,∴BC===50(-1)(m).在Rt△ABE中,tanα=.∵AB为定长,∴当BE的长最小时,α取最大值60°,这时BE⊥CD.当BE⊥CD时,在Rt△BEC中,EC=BC·cos∠BCE=50(-1)×=25(3-)(m).设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了tmin,则t=×60=×60=(min).(2)由(1)知当α取得最大值60°时,BE⊥CD.在Rt△BEC中,BE=BCsin∠BCD,∴AB=BEtan60°=BCsin∠BCD·tan60°=50(-1)×=25(3-)(m),即所求塔高为25(3-)m.