2数字电路基础

计算机硬件技术基础李丰[e-mail]2数制及其转换十进制是人们最熟悉的一种进位记数制，它由0-9共10个数字组成，进位方法是逢十进一。在计算机中采用的数制是二进制，有时也使用八进制和十六进制。一切进位记数制都有两个共同点：按基数来进位和借位，按位权值来计数。31.基数不同的记数制是以基数来区分的。假设以R代表基数。R=2时，为二进制，可用的数字为0，1；R=8时，为八进制，可用的数字为0，1，2，3，4，5，6，7；R=10时，为十进制，可用的数字为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；R=16时，为十六进制，可用的数字为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9,A，B，C，D，E，F。数制及其转换4各种记数制都按基数R来进位和借位的，即“逢R进一，借一当R”。例如，对十进制数，“逢十进一，借一当十”；对二进制数，“逢二进一，借一当二”；对八进制数，“逢八进一，借一当八”；对十六进制数，“逢十六进一，借一当十六”。数制及其转换5在任何记数制中，一个数的每个位置各有一个“位权值”。例如，十进制数32,767有5个数符，从左向右它们的位权值分别为万位、千位、百位、十位和个位，即104，103，102，101和100。在这里虽然第三和第五两个位置上的数符都是7，但是，第三位上的7代表700(7×102)，而第五位上的7就代表7(7×100)。数制及其转换6按照“用位权值计数”的原则，这5位十进制32,767的值可以写为：(32,767)10＝3×104＋2×103＋7×102＋6×101＋7×100＝30,000＋2,000＋700＋60＋7若32,767这5位是八进制数，则可以写为：(32,767)8＝3×84＋2×83＋7×82＋6×81＋7×80＝12,288＋1,024＋448＋48＋7＝(13815)10数制及其转换7⒈二、八、十六进制转换为十进制(10101.11)2＝1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2＝(21.75)10(123.4)8＝1×82＋2×81＋3×80＋4×8－1＝64＋16＋3＋0.5＝(83.5)10(ABC.4)16＝10×162＋11×161＋12×160＋4×16－1＝2560＋176＋12＋0.25＝(2748.25)10数制及其转换8⒉十进制转换为二、八、十六进制将一个十进制数转换为二、八、十六进制数时，其整数部分和小数部分所遵循的转换规则不同。其整数部分的转换规则用的是除R取余法，且先余为低，后余为高；而小数部分的转换规则用的是乘R取整法，且先整为高，后整为低。数制及其转换9⑴将十进制数转换为二进制数例如(8.5678)10：①用“除2取余”的方法先求整数部分“8”的二进制数；②用“乘2取整法”的方法求小数部分“.5678”的二进制数；③将整数部分与小数部分合并。整数部分：2824…余数为022…余数为021…余数为00…余数为1小数部分:0.5678×2＝1.1356……取出整数10.1356×2＝0.2712……取出整数00.2712×2＝0.5424……取出整数00.5424×2＝1.0848……取出整数1结果：1000.1001数制及其转换10(2)将十进制数转换为八进制数①用“除8取余”的方法先求整数部分“83”的八进制数；②用“乘8取整法”的方法求小数部分的八进制数；③将整数部分与小数部分合并。整数部分：883810…余数为381…余数为20…余数为1小数部分:0.5×8＝4.0……取出整数4转换结果：(83.5)10＝(123.4)8数制及其转换11⑶将十进制数转换为十六进制数①用“除16取余”的方法先求整数部分的十六进制数；②用“乘16取整法”的方法求小数部分的十六进制数；③将整数部分与小数部分合并，得到结果。整数部分：16274816171…余数为12(C)810…余数为11(B)0…余数为10(A)小数部分:0.25×16＝4.0……取出整数4转换结果：(2748.25)10＝(ABC.4)16数制及其转换123.二进制数与8、16进制数间的转换从前面的不同数制转换中可以看出，十进制与二进制之间的转换比较简便，但十进制与八、十六进制数间的转换相对比较麻烦。而8和16都是2的整数乘幂，即8＝23，16＝24，所以每位八进制数可用3位二进制数表示，每位十六进制数可用4位二进制数表示。八进制数二进制数八进制数二进制数00004100100151012010611030117111十六进制数二进制数十六进制数二进制数0000081000100019100120010A101030011B101140100C110050101D110160110E111070111F1111数制及其转换13(1)二进制转换为8进制(或16进制)的原则⑴以小数点为中心，分别向前、向后每3位(或4位)一组，不足3位(或4位)则以“0”补齐(整数部分在前面补零，小数部分在后面补零)；⑵将每个分组用一位对应的八进制(或十六进制)数码代替，得出的结果即为所求的八进制(十六进制)数。例如，(101010.010101)2＝101010.010101＝(52.25)8(101010.010101)2＝00101010.01010100＝(2A.54)16数制及其转换14(2)8进制(或16进制)转换为2进制的原则把每一位八进制(或十六进制)的数码展开为3位(或4位)二进制数码，然后，去掉整数首部和小数尾部的“0”，即得出所求的二进制数。例如：(52.25)8＝101010.010101＝(101011.111001)2(52.25)16＝01010010.00100101＝(1010010.00100101)2数制及其转换15数制及其转换数制转换总结16+－÷计算机的运算基础17加法运算法则：0＋0＝00＋1＝11＋0＝11＋1＝10例：求（10011.01）2＋（100011.11）2＝？10011.01100011.11````＋）0.0111011（110111）2练习：求（1011011）2＋（1010.11）2＝？10110111010.11`＋）1.1101001``1（1100101.11）2计算机的运算基础18减法运算法则：0－0＝01－0＝11－1＝010－1＝1（0－1）例：求（10110.01）2－（1100.10）2＝？10110.011100.10```－）1.11001（1001.11）2练习：求（1010110）2－（1101.11）2＝？1010110.001101.11－）1.00001001（1001000.01）2````计算机的运算基础19乘法运算法则：0×0＝01×0＝00×1＝01×1＝1例：求（1101.01）2×（110.11）2＝？1101.01110.11×）（1011001.0111）21101011101010000001101011101011011001.0111计算机的运算基础20除法运算法则：0÷0＝01÷0=（无意义）0÷1＝01÷1＝1例：求（1101.1）2÷（110）2＝？（10.01）2计算机的运算基础110110110110010.011.110121逻辑运算：逻辑代数：逻辑变量：它是指“条件”与“结论”之间的关系。它是指对因果关系进行分析的一种运算，运算结果并不表示数制的大小，而是表示逻辑概念成立还是不成立。是实现逻辑运算的数学工具。（由英国人乔治•布尔创立，又称布尔代数）逻辑代数是通过逻辑变量表示命题的计算机的运算基础22A：今天去郊游B：今天天气好C：今天不上课A=B•C含义：“若‘今天天气好’，并且‘今天不上课’，则‘今天去郊游’”。表示“与”运算，是“并且”的意思逻辑变量计算机的运算基础23A=B＋C表示“或”运算表示A、B、C的反命题，表示“非”运算含义：“若‘今天天气不好’，或‘今天上课’，则‘今天不去郊游’”。逻辑变量A：今天去郊游B：今天天气好C：今天不上课计算机的运算基础24三种基本的逻辑关系逻辑与（And）逻辑或（Or）逻辑非（Negate）逻辑异或（Exclusive—Or）计算机的运算基础25与运算符：•×∧∩And运算法则：0∧0=00∧1=01∧0=01∧1=1只要当参与的逻辑变量都为1时，“与”运算的结果才会为1；只要其中有一个为0，其结果就为0。例：逻辑运算10101111•10011101=？1010111110011101∧1011000110001101练习：逻辑运算10111001•11110011=？1011100111110011∧10001101100110001计算机的运算基础26或运算符：运算法则：0∨0=00∨1=11∨0=11∨1=1只要当参与“或”运算的任意一个逻辑变量为1时，“或”运算结果就为1；只有都为0，结果才为0。例：逻辑运算10101010•01100110=？1010101001100110∨0111011111101110练习：逻辑运算10100001•10011011=？1010000110011011∨1101110110111011＋∨∪Or计算机的运算基础27非运算符：运算法则：逻辑非运算是逻辑否定的意思，用二进制进行逻辑运算就是“求反”操作。例：逻辑运算练习：逻辑运算在变量上加“—”1=00=110101100=0101001101001011=10110100计算机的运算基础28异或运算符：运算法则：只有参与“异域”运算的两个逻辑变量值不同时，“异域”运算结果为1；否则结果为0。例：逻辑运算10101010000011111010010110100101＋00=001=110=111=0＋00=000=0＋＋＋1010101000001111=＋＋计算机的运算基础29计算机内的数据是以二进制数表示的。计算机内用于存储数据的逻辑部件有两种状态，即高电位和低电位两种状态。这两种状态与二进制数制系统的“1”和“0”相对应。在计算机中，1位二进制数可以表示两个信息状态。2位二进制数，则可以表示4个信息状态；使用3位二进制数，可以表示8个信息状态。可以看出，二进制数的位数和可以表示的信息状态之间存在幂次数的关系。也就是说，当用n位二进制数时，可表示的不同信息状态个数为2n个。计算机在存储数据时，常常把8位二进制数看作一个存储单元，或称为一个字节。把210(即1024)个存储单元称为1KB；把210K(即1024K)个存储单元称为1MB；把210M(即1024M)个存储单元称为1GB；把210G(即1024G)个存储单元称为1TB。计算机中数据的表示30数据可分为数值数据和非数值数据两大类，其中非数值数据又可分为数字符、字母、符号等文本型数据和图形、图像、声音等非文本数据。在计算机中，所有类型的数据都被转换为二进制代码形式加以存储和处理。待数据处理完毕后，再将二进制代码转换成数据的原有形式输出。计算机中数据的表示31计算机中数据的表示计算机应用领域中需要表示的信息有数字、字符、图像、视频和音频等。计算机专家设计了各种方法来对信息进行编码和存储。在计算机里，不同编码方式的文件格式不同，如存储字处理文档、图形数据或音频数据等的文件格式各不相同。32计算机采用二进制格式来存储数值型数据。在计算机中表示一个数值型数据，需要解决3个问题:确定数的长度、数有正负之分和小数点的表示在计算机中表示数值型数据，小数点的位置总是隐含的，以便节省存储空间。隐含的小数点位置可以是固定的，也可以是可变的。前者称为定点数，后者称为浮点数。计算机中数据的表示331.定点数表示方法在定点数中，小数点的位置一旦约定，就不再改变。目前常用的有两种：定点整数，即小数点位置约定在最低数值位的后面，用于表示整数。定点小数，即小数点位置约定在最高数值位的前面，用于表示小于1的纯小数。计算机中数据的表示34定点数表示十进制整数193定点数表示十进制小数－0.6876