函数、极限、连续 练习题

1函数、极限、连续二、典型例题题型一复合函数例1、设0,10,0)(xxxf,22,||1()||2,||1xxgxxx，试求)]([)],([xfgxgf.解：22(),()12,()02,0[()]1,()11,0()2,()1fxfxfxxgfxfxxfxfx0,120,()0[()]1,()01,12xgxfgxgxxx或.例2、23min{32,}xxx22323233323232[3,0][1,+)=32(,3)(0,1)xxxxxxxxxxxxxx，，，，.（可用图像法）例3、已知)1(xf的定义域为[0,1],，求(23)fx的定义域.解：[0,1],x则1[1,2]x，即()fx的定义域为[1,2]，于是23[1,2]x，故1[1,]2x.例4、设)(xf和)(xg互为反函数，则)]3(21[xgf的反函数为(B)(A))]3(21[xfg(B))](2[31xgf(C))]3(2[xfg(D))](31[2xfg解：1[(3)]2yfgx，则1(3)()2gxgy，即(3)2()gxgy，于是3(2())xfgy，即1(2())3xfgy故1[(3)]2yfgx的反函数为1[2()]3yfgx.题型二函数性态例1、定义于R上的下列函数为奇函数的是(C)(A)][x(B)12xxee(C))1ln(2xx(D)2011tancos2011xxx例2、当x时，变量xxcos是(D)（注意函数的局部性质）(A)无穷小(B)无穷大(C)有界量(D)无界量注：当n时，若2xn，则cosxx；若22xn，则cos0xx.例3、设Axfxx)(lim0，下列结论成立的是(C)(A)存在,当),(0xUx时，()fxA(B)存在,当),(0xUx时，()fxA(C)若0A,则存在,当),(0xUx时，0)(xf(D)若当),(0xUx时,()0fx,那么0A.注1：若Axfxx)(lim0，则对0，存在,当),(0xUx时，总有()AfxA（局部有界）.注2：若Axfxx)(lim0，当),(0xUx时,()0fx,那么0A（局部保号）.例4、211xyx在下列区间中有界的是(A)(A)(,1)(B)(,1)(C)(1,)(D)(1,)2注：若)(xf在(,)ab内连续，且(),()faAfbB,则)(xf在(,)ab内有界.题型三未定式计算（限于，00，0，1，另三种，00,0以后讲）例1、求极限：（1）10864)2()(5)1()12(limxxxxxxx；（2）0sintanlim(31)(11)xxxxx；（3）0sintanlim312xxxxx；（4）2213230(1)1lim32xxxxx；（5）2cot3limcot5xxx；（6）)18(lim3332xxxx；（7）2csc0lim(cos)xxx解（1）：原式467101151(2)(1)(1)lim2(1)xxxxxx16.（找老大10x，去小口算；同除老大显算法）解（2）：原式002lim1ln3ln3()2xxxxx.解（3）：原式000sintanlim3111xxxxxxxxx=1101ln32.（找同阶老大x，去小口算；同除老大显算法）原式00lim0()1ln3()2xxxxx（sintanxxxx是错的）注：等价无穷小代换可在0,00中对较复杂的“0”进行等价代换，当分子（母）由各无穷小因子相乘时，可对较复杂的无穷小因子进行等价，这能保证整体也等价；而当分子（母）由各无穷小因子相加（减）时，一般不能对各无穷小因子进行等价，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项（同阶老大）后看能否拆开.解（4）：原式32223ln(1)22(2ln33ln2)2000ln(1)111=lim=limlim=(2ln33ln2)2ln33ln23[1]]3xxxxxxxxxexxe.注：当0x时，2~ln,(1)(1)~()(),(1)1~xxxaabxxxxxxb.解（5）：原式0020tan33limtan55xtttt.解（6）：原式230233(1)777lim(11)(1)lim1313xxxxxxxx.解（7）：原式2200lncoscos111limlimsin2xxxxxxeee.注：ln()()11lim()ln()lim()[()1]()lim()uxuxvxuxvxuxvxuxeea.3题型四极限存在题型例1、判断下列极限存在吗？（1）2lim(1)xxx；（2）arctanlim(1)1xxxaa　　；（3）12111lim1xxxex；（4）2430arcsinlimtanxxxx（5）01coslimxxx；（6）;221lim262626nnnnnnnn（7）nnxx211lim提示：（6）因nnnnnnnnnnnnnnnnn6262626266)12)(1(2216)12)(1(，则原式31（7）21,11lim1,110,1nnxxxxxx注1：x时，xx，xa，arctanx，arccotx的极限不存在，先研究,xxx时，sinx，cosx的极限不存在，只需注意其为有界量，arctanx，arccotx也可考虑有界量性质注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则注5：极限函数()lim(,)nfxFxn的求法，要注意对x取值范围的讨论，如,,arctannnxxanx等.例2、求,lim21nnmnnnaaa其中),,2,1(0miai.提示：令aaimi1max，则ammaaaaaannnnnmnnnn211limnnm，则原式=imiaa1max（本题的结论是一个常用结论）.例3、设nnnxzy，且lim()0,limnnnnnyxz则（C）(A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零(C)不一定存在(D)一定不存在提示：若limlim0nnnnxya，由夹逼定理可得lim0nnza，故不选A与D.取11(1),(1),(1)nnnnnnxyznn，则nnnxzy，且lim()0nnnyx，但limnnz不存在，B不正确．例4、设=10,,nnnkkanZSa，则数列na有界是数列nS收敛的（C）(A)充分必要条件(B)充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）即非充分地非必要条件.例5、设222,,22,221nxxx，求nnxlim.解：由题意，知21nnxx，先证}{nx收敛1122,2,2222kkkxxxx令则，由数学归纳法知}{nx有上界.又02)1)(2(21nnnnnnnnxxxxxxxx，即nnxx1由单调有界定理知}{nx收敛，令Axnnlim易知2AA解得2A，即2limnnx.注：（1）对数列}{nx，若有递推表达式，则一般使用单调有界准则证明数列}{nx的收敛性.（2）若0nx，有时也会用11nnxx（）证明数列}{nx的单调性.（3）对此类题，往往利用递推表达式先定出极限，再证明数列}{nx的界性，最后研究其单调性.（4）若该题改为：设10x，12,nnxxnZ，求nnxlim.则分三种情况讨论：若12x，用单调增上有界完成；若12x，则2nx；若12x，用单调减下有界完成.4题型五极限应用题型（先讲无穷小比较、渐近线确定、间断点类型，以后再研究可导性判断）例1、当0x时，用)(xo表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（D）（A）)()(32xoxox（B）)()()(32xoxoxo（C）)()()(222xoxoxo（D）)()()(22xoxoxo解：对于（D）可找出反例，如当0x时)()(),()(2332xoxxgxoxxxf，但)()()(xoxgxf．例2、已知当1x时,2)2(xx与2)1()1(xbxa是等价无穷小,求ba,的值.解：(ln2ln)ln22211(2)21lim2lim(1)(1)(1)(1)xxxxxxeaxbxaxbx1(1)ln2ln2lim,(1)()xxxxxabxb1lnln22(1ln2)12lim1xxxxabxba,则)2ln1(2a,显然bR.例3、求曲线112xxy的渐近线方程.解：yx1lim1x为其铅直渐近线又111lim)(lim,1limxxxyxyxxx1xy为其斜渐近线.注：记忆各类渐近线的确定方法：①若),(xxx或或，yb，称by为)(xfy一条水平渐近线，一个函数至多有两条不同的水平渐近线；②若),(axaxax或或，y，称ax为)(xfy的一条铅直渐近线；③若()lim0xxxykx，()lim()xxxykxb，称bkxy为)(xfy的一条斜渐近线.例4、试确定xxytan的间断点，并判断其类型.解：其间断点为,2xkk（zk），因0lim2ykx，则2kx为其可去间断点；又ykxlim，此时0k，kx（0k）为其第二类间断点而1lim,1lim00yyxx0x为其跳跃间断点.例5、003sin11xxxxeyx，试确定该函数的渐近线，并判断其间断点类型。解：(1)limxy1x为其铅直渐近线，且1x为其第二类间断点；1limyx1y为其水平渐近线；又0limyx0y为其水平渐近线；而3)0(,)0(fef，故0x为其第一类中的跳跃间断点.例6、求证：设()fx在0xx间断，()gx在0xx连续，则()()fxgx在0xx间断.并举例说明2()(),(),()fxgxfxfx在0xx可能连续.提示：设00()10xfxx，()singxx，则()fx在0x间断，()gx在0x连续，()()()sin0fxgxfxx在0x连续；若设10()10xfxx，()fx在0x间断，但2()()1fxfx在0x均连续.注：“()fx在0x点连续”是“()fx在0x点连续”的充分不必要条件.5三、课后练习1（A）、1)(3xxf，xxgf)]([，则)(xg3)1(x．2（A）、当02x时，max{sin,cos}xxcos04sin454cos542xxxxxx，，，．3（B）、2min{32,2}xxx232272273