双曲线题型归总结教师版 推荐 有答案

双曲线题型总结题型一双曲线定义的应用1、如图所示，在△ABC中，已知|AB|=42，且三内角A、B、C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．解：如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(22,0)、B(22,0)．由正弦定理得sinA=2aR，sinB=2bR，sinC=2cR.∵2sinA+sinC=2sinB，∴2a+c=2b，即ba=2c.从而有|CA||CB|=21|AB|=22|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．∵a=2，c=22，∴b2=c2a2=6.所以顶点C的轨迹方程为221,26xy(x2)．【反思感悟】使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即||PF1||PF2||=2a，而|PF1|-|PF2|=2a表示一支．2、P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝9，求|PF2|的值．解在双曲线x216－y220＝1中，a＝4，b＝25.故c＝6.由P是双曲线上一点，得||PF1|－|PF2||＝8.∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，得|PF2|＝17.3、已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点的轨迹方程．解设F(x，y)为轨迹上任意一点，∵A、B两点在以C，F为焦点的椭圆上∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝2∴F的轨迹方程为：y2－x248＝1(y≤－1)．题型二由方程研究几何性质4、求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．解把方程9y2－16x2＝144化为标准方程y242－x232＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝a2＋b2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝ca＝54；渐近线方程为y＝±43x.【反思感悟】求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式x2a2－y2b2＝1(或y2a2－x2b2＝1)，再根据它确定a，b的值，进而求出c.5．若方程x2|k|－2＋y25－k＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是()A．k－2，或2k5B．－2k5C．k－2，或k5D．－2k2，或k5解析由题意知：(|k|－2)(5－k)0，即|k|－20，5－k0，或|k|－20.5－k0.解得：k5，或－2k2.故选D.题型三由几何性质求双曲线的标准方程6、设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．解方法一设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有42a2－(±15)2b2＝1，a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5.所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.方法三若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为x227－λ＋y236－λ＝1(27λ36)，再将点A(±15，4)代入求λ，进而求方程，不过这种解题方法有一定的技巧性．7、求实轴长为45且过点A(2，－5)的双曲线的标准方程解析由题意知2a＝45，a2＝20，若双曲线焦点在x轴上，则可设方程为x220－y2b2＝1，代入点A(2，－5)，得：420－25b2＝1，即－25b2＝1620，矛盾．因此设双曲线的方程为－x2b2＋y220＝1.代入A(2，－5)，得：4b2＝－1＋2520＝14，∴b2＝16.8．双曲线与椭圆x216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，则双曲线方程为()A．x2－y2＝96B．y2－x2＝160C．x2－y2＝80D．y2－x2＝24答案D解析由题意知双曲线的焦点为(0，±43)，即c2＝48，又因一条渐近线方程为y＝x.所以ab＝1.即a＝b，∴48＝2a2，a2＝b2＝24.故选D.9、(重庆高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线为y＝kx(k0)，离心率e＝5k，则双曲线方程为()A.x2a2－y24a2＝1B.x2a2－y25a2＝1C.x24b2－y2b2＝1D.x25b2－y2b2＝1解析双曲线的渐近线方程可表示为y＝±bax，由已知可得k＝ba.又离心率e＝1＋ba2＝5k，所以k＝12.即ba＝12，故a＝2b.答案C10、已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线方程为y＝±33x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为____________．解析双曲线顶点为(a,0)，渐近线为x＋3y＝0，∴1＝a1＋3＝a2，∴a＝2.又ba＝33，∴b＝233，∴双曲线方程为x24－34y2＝1.题型四双曲线的实际应用11、A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．解以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,23)∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上∵kBC＝－3，BC中点D(－4，3)∴直线PD：y－3＝13(x＋4)①又|PB|－|PA|＝4，∴P在以A、B为焦点的双曲线右支上设P(x，y)则双曲线方程为x24－y25＝1(x＞0)②联立①、②式得x＝8，y＝53，∴P(8,53)，因此kPA＝538－3＝3.故炮击的方位角为北偏东30°.12、已知A、B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解如图所示，建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合．设爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PA||PB|=340×2=680，即2a=680，a=340.又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2a2=44400.因为|PA||PB|=340×2=6800，所以x0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为22=1115600444400xy（x0.）知识点五求双曲线的离心率13、(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则双曲线的离心率为________；(2)设双曲线x2a2－y2b2＝1(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为34c，则双曲线的离心率为________．解析(1)当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±bax，依题意，ba＝34，e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋916＝2516，∴e＝54；当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±abx，依题意ab＝34，e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋169＝259，∴e＝53.(2)直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.于是有|b·0＋a·0－ab|a2＋b2＝34c，即ab＝34c2.两边平方得16a2b2＝3c4，∴16a2(c2－a2)＝3c4.即3c4－16a2c2＋16a4＝0，∴3e4－16e2＋16＝0.解得e2＝4，或e2＝43，∵ba0，∴b2a21，∴e2＝a2＋b2a2＝1＋b2a22，故e2＝4，∴e＝2.答案(1)53或54(2)214、．(全国Ⅱ高考)设a1，则双曲线x2a2－y2(a＋1)2＝1的离心率e的取值范围是()A．(2，2)B．(2，5)C．(2,5)D．(2，5)解析∵双曲线方程为x2a2－y2(a＋1)2＝1，∴c＝2a2＋2a＋1.∴e＝ca＝2＋1a2＋2a＝1a＋12＋1.又∵a1，∴01a1.∴11a＋12.∴11＋1a24.∴2e5.答案B课堂小结：1.双曲线22221,xyab(a0,b0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其顶点为(±a,0),实轴长为2a,虚轴长为2b;其上任一点P(x,y)的横坐标均满足|x|≥a.2.双曲线的离心率e=ac的取值范围是(1,+∞),其中c2=a2+b2,且ab=21e,离心率e越大,双曲线的开口越大.3.双曲线22221,xyab(a0,b0)的渐近线方程为y=±abx,也可记为22220,xyab;与双曲线22221,xyab具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为2222,xyab(λ≠0).知识点六直线与双曲线15、直线l在双曲线x23－y22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.解设直线l的方程为y＝2x＋m，由y＝2x＋m，x23－y22＝1，得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由韦达定理，得x1＋x2＝－65m，x1x2＝310(m2＋2)．又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，∴y1－y2＝2(x1－x2)，∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[3625m2－4×310(m2＋2)]．∵|AB|＝4，∴365m2－6(m2＋2)＝16.∴3m2＝70，m＝±2103.∴直线l在y轴上的截距为±2103.知识点一直线与双曲线的位置关系16、已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围．(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．解由x2－y2＝4y＝k(x－1)消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)(1)当1－k2＝0，即k＝±1，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)①4－3k2＞01－k2≠0即－233＜k＜233，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②4－3k2＝01－k2≠0即k＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有两重合的公共点．③4－3k2＜01－k2≠0即k＜－233或k＞233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，当－233＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜233时，直线与双曲线有两个公共点．当k＝±1或k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点．当k＜－233或k＞233时，直线与双曲线没有公共点．【反思感悟】讨论直线和双曲线的公共点的个数问题，常常归结为讨论含参数的一元二次方程在特定区间内是否存在实根或讨论实根的个数问题，但要注意转化的等价性．17、过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析右焦点坐标为(3，0)，把x＝3代入双曲线方程得：y＝±2，即当直线过右焦点．垂直于x轴时，l与双曲线交的弦长|AB|＝4，当l与x轴重合时，|AB|＝2.由数形结合知，还存在两条直线，使得|AB|＝4，故选C.知识点七、焦点三角形问题18、F1、F2为双曲线x24－y2＝－1的