考研数学一真题解析-2012

王道考研系列：2001年-2012年考研数学（数学一）真题-1-2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)曲线221xxyx渐进线的条数（A）0(B)1(C)2(D)3【考点分析】：曲线的渐近线条数。【求解过程】：C方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。由于22(1)111(1)(1)11xxxxxyxxxxx，可知，221xxyx的图像是由1yx的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单位所得。由于图像平移并不改变其渐进线的条数。1yx有两条渐进线，其中一条为水平渐近线0y，一条为垂直渐近线0x。所以221xxyx也有两条渐近线，选择C。【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。例如，把函数()yfx依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。则新函数的解析式为(12)12(1)1yfxfx。方法二：直接求解函数的渐近线。因为22lim1,1xxxx所以1y为水平渐进线。又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。王道考研系列：2001年-2012年考研数学（数学一）真题-2-又因为221lim,1xxxx所以1x为垂直渐进线。综上所述，221xxyx也有两条渐近线，选择C。【相关补充】：斜渐进线的求解步骤：1)考察是否有lim()xfx？若是，则转2）2)考察是否有()limxfxax（常数）？，若是，则转3）3)是否有lim[()]xfxaxb存在？若是，则()yfx有斜渐进线yaxb，上述任何一个步骤中，若否，则无斜渐进线。在某个趋向下，若存在水平渐近线则一定不存在同一趋向下的斜渐近线。【方法总结】：方法一较为快速简单，方法二为常规的做法。(2)设函数2()(1)(2)(),xxnxyxeeen其中n为正整数，则(0)y（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)()!nn（D）(1)()!nn【考点分析】：单点处的函数值。【求解过程】：A方法一：利用乘积函数的导数公式22221()(1)(2)(),()()(2)()(1)(2)()(1)(2)(),(0)1(12)(1)(1)(1)!xxnxxxnxxxnxxxnxnfxeeenfxeeeneeeneenefnn选择A。方法二：利用单点处的导数定义220022001()(1)(2)(),()(0)(1)(2)()(0)limlim(2)()limlim(2)()(12)(1)(1)(1)!xxnxxxnxxxxnxxnxxxnfxeeenfxfeeenfxxxeeneenxnn方法三：利用特值代入王道考研系列：2001年-2012年考研数学（数学一）真题-3-2222()(1)(2)(),()(1)(2),()()(2)(1)(2)(0)1(12)1,Axxnxxxxxxxfxeeenfxeefxeeeef当n=2时，将n=2代入各个选项，由排除法选择。【方法总结】：方法一最直接，但是用乘积函数的导数公式计算较为复杂。方法二求某一点的函数值直接利用导数定义，较为简单。方法三代入特殊值的技巧在选择题中排除选项很常见，要掌握。(3)如果函数(,)fxy在（0，0）处连续，那么命题正确的是（A）若极限00(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在（0，0）处可微（B）若极限2200(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在（0，0）处可微（C）若(,)fxy在（0，0）处可微，则极限00(,)limxyfxyxy存在（D）若(,)fxy在（0，0）处可微，则极限2200(,)limxyfxyxy存在【考点分析】：本题考查二元函数连续性，可微性与极限存在性，直接应用可微的定义。【求解过程】：B方法一：正向选择法由于函数(,)fxy在（0，0）处连续，如果极限2200(,)limxyfxyxy存在，则必有(0,0)f=00lim(,)0xyfxy这样极限2200(,)limxyfxyxy存在等价于极限2200(,)(0,0)limxyfxyfxy存在，可知，2200(,)(0,0)lim0xyfxyfxy，从而22(,)(0,0)00()fxyfxyoxy，由可微性的定义，可知王道考研系列：2001年-2012年考研数学（数学一）真题-4-(,)fxy在（0，0）处可微。方法二：反向排除法（A）(,)fxyxy，极限00(,)limxyfxyxy=1存在，而(,)fxyxy在（0，0）处偏导数不存在，所以不可微。排除A（B）若极限2200(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在（0，0）处可微（C）(,)fxy=1在（0，0）处可微，而极限00(,)limxyfxyxy不存在。排除B（D）22(,)fxyxy（0，0）处可微，而极限2200(,)limxyfxyxy不存在。排除D【方法小结】：方法一直接从定义入手;方法二通过观察已知函数快速构造反例。(4)设20sin(1,2,3)kxtkIexdxk，则有（A）123III（B）321III（C）231III（D）213III【考点分析】：本题考查定积分的比较性质与区间变换。【求解过程】：D22222222222102222111032323311022232sin0,sinsinsinsinsin+sinsin+sin,sinsinxxxxxxxxxxxIexdxIexdxIexdxIexdxIAIexdxIexdxexdxIexdxexdxexdxexdx由此可以排除选项；因此只需比较与的大小，222222223222()()()22223()231312,sinsin()sinsin,sinsin,sinsin,xtttxtxxxtexdxetdtetdtetdtexdxetdtexdxexdxIIIIID采用区间变换的方法。令则由于，所以，从而综上所述，，选择。王道考研系列：2001年-2012年考研数学（数学一）真题-5-(5)设1=100C,2=201C,3=311C,4=411C,其中1234,,,CCCC为任意常数，则下列向量组线性相关的是（A）123,,（B）124,,（C）134,,（D）234,,【考点分析】：本题考查向量组的线性相关性。【求解过程】：C方法一：利用若两向量对应分量成比例，则两向量线性相关。343400CC可见34与1成比例，所以1与34线性相关，所以134,,线性相关，选C。方法二：联系行列式求解。134134011,,0110CCC，所以134,,线性相关，选C。(6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1100010002PAP.若123(,,)P,1223(,,)Q，则1QAQ=（A）100020001（B）100010002（C）200010002（D）200020001【考点分析】：本题考查矩阵分块乘法逆用，初等矩阵的逆矩阵，具体的数值矩阵的乘法。【求解过程】：B王道考研系列：2001年-2012年考研数学（数学一）真题-6--1-1-1-1-1100100100110,=110=-110001001001QPQPP则故-1-1-1-1100100100100100100=-110110-110010110010001001001002001002QAQPAP选择B【基础回顾】：初等矩阵的性质。111(,)(,);1(())(());(())(())EijEijEiEiEijkEijk13100100110110001001根据初等矩阵的性质（），可以直接写出矩阵(7)设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则()Pxy=（A）15（B）13（C）25（D）45【考点分析】：本题考查指数分布的概率密度函数与二元函数的概率取值。【基础回顾】：x服从参数为的指数分布，则其概率密度为,0;()0,0.tetftt【求解过程】：A设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则,0;()0,0.xXexfxx，44,0;()0,0.yYeyfyy，44,0,0;(,)0,.xyeexyfxyothers王道考研系列：2001年-2012年考研数学（数学一）真题-7-44004500()(,)4(4)15xyxyxyxxxxxPxyfxydxdydxeedyedxedyeedxedx(8)将长度为1m的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为（A）1（B）12（C）12（D）-1【考点分析】：本题考查两随机变量线性相关系数。【求解过程】：D方法一：利用两随机变量线性相关系数的性质直观含义求解。设两段长度分别为x与y，显然1xy，1yx，故两者是负线性相关，所以相关系数为-1。方法二：利用相关系数的公式求解。,1,cov(,)()()cov(,)cov(,1)cov(,)(),()(1)()cov(,)()=1.()()()()xxyDxDyxyxxxxDxDyDxDxxyDxDxDyDxDx设一段长x另一段长y由其中，所以，【方法小结】：方法一很简单快速，且利用这一性质求线性相关系数的考点历年真题中出现过。王道考研系列：2001年-2012年考研数学（数学一）真题-8-二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)若函数()fx满足方程()()2()0fxfxfx及()()2xfxfxe，则()fx=【考点分析】：本题考察二阶齐次线性微分方程的求解以及用待定系数法求特解。【求解过程】：xe特征方程为220rr，特征根为121,2rr，齐次微分方程()()2()0fxfxfx的通解为212()xxfxCeCe，再由()()2xfxfxe得21222xxxCeCee，可知121,0CC，故()fx=xe(10)12220(2)xxxdx【考点分析】：本题考查定积分。【求解过程】：2方法一：凑微分，定积分的几何意义。11222222212200201322222201122222200122220(2)(2)