17.1-1复数的概念1

x+1=0无解3x-2=0无解x2-2=0无解NZQRx2=-1扩充原则：①“添加”新数，原数集是新数集的真子集；②在新数集中，原有的运算及其性质仍然成立.-1232？数系的扩充自然数整数有理数实数？NZQR用图形表示包含关系：复习回顾知识引入对于一元二次方程没有实数根．012x我们已知知道：12x我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？[e-mail]引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：ii（1）它的平方等于－1，即12i虚数单位（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．为了解决负数开方问题，即：将实数a和数i相加记为:a+i；把实数b与数i相乘记作:bi；将它们的和记作:a+bi(a,b∈R),虚数的历史•1545年卡尔丹在解方程的过程中第一次大胆使用了负数平方根的概念，当时被他称作“诡辩量”。•1637年法国数学家笛卡尔率先提出“虚数”这个词，并在很多方面得到了应用，“虚数”被证明“不虚”了。•1777年著名的数学家欧拉首次用ｉ表示-1的平方根，只是存在于“幻想之中”，并用（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.•1801年，高斯系统地使用这个符号，才使i通行于世。复数全体所组成的集合叫复数集,用字母C表示1.复数：把形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数i叫做虚数单位(imaginaryunit))R,,|{babiazzC其中一.复数的有关概念虚部实部用z表示复数,即z=a+bi(a,b∈R)叫做复数的代数形式2.复数的代数形式：规定:0i=0,0+bi=bi3.两个复数相等有两个复数Z1=a+bi(a,b∊R)和Z2=c+di(c,d∊R)a+bi=c+dia=c且b=d注意1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系2、若Z1,Z2中不都为实数，Z1与Z2只有相等或不相等两关系，而不能比较大小4.复数的分类：复数z=a+bi(a,bR)条件数的类型RC实数集R是复数集C的真子集，虚数b≠0纯虚数a=0且b≠0实数0a=b=0实数b=0复数z=a+bi(a,bR)实数(b=0)虚数(b≠0)纯虚数(a=0)非纯虚数(a≠0)[e-mail]思考C1.数集N，Z，Q，R，C的关系是怎样的？复数集实数集虚数集纯虚数集2.复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间关系数系的扩充NZQR自然数集整数集无理数集实数集负整数分数负整数无理数分数复数集虚数无理数C??回顾反思1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部31i31i71i2i)1(01iii)32(i2练习:[e-mail]2.有下列命题：（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则z=a一定不是虚数其中真命题的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）[e-mail]例1：实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？immz)1(1解：（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当，且，即时，复数z是纯虚数．01m01m1m新授课例1(补)m取何实数时，复数z＝m2－m－6m＋3＋(m2－2m－15)i(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？[分析]在本题是复数的标准形式下，即z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合即可．[解析](1)当m2－2m－15＝0m＋3≠0时，m＝5或m＝－3m≠－3∴当m＝5时，z是实数．(2)当m2－2m－15≠0m＋3≠0时，即m≠5且m≠－3m≠－3∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数。(3)当m2－m－6＝0m＋3≠0m2－2m－15≠0时，即m＝3或m＝－2m≠－3m≠5且m≠－3∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．[点评]①判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值有意义，如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m＋3≠0，就会酿成根本性的错误，其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，多与少都是不对的，解答后进行验算是很有必要的．②对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．这是解复数问题的重要思路之一．(1)下列命题中假命题是()A．自然数集是非负整数集B．实数集与复数集交集为实数集C．实数集与虚数集交集是{0}D．纯虚数集与实数集交集为空集[答案]C[解析]复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C是假命题．故选C.变式练习：(2)已知a、b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]当a＝b＝0时，此复数为0是实数，故A、B不正确；若(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数，则a＋b≠0a－b＝0，⇒a＝b≠0，即a＝b≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a＝b是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．故选C.*Znni424ni34ni14ni1-1ii[e-mail]新授课例2已知，其中，求iyyix)3()12(Ryx,.yx与解：由复数相等的定义，得方程组)3(112yyx解得4,25yx说明:实数问题复数问题转化小结：在理解复数的有关概念时应注意：（1）明确什么是复数的实部与虚部；（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；（3）弄清复平面与复数的几何意义；（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。