10算符及其运算规则

第三章量子力学中的力学量§3-1算符及其运算规则§3-2厄米算符的本征问题§3-3坐标算符和动量算符§3-4角动量算符§3-5共同完备本征函数系力学量完全集§3-6力学量的平均值§3-7展开假定§3-8不确定关系§3-9电子在库仑场中的运动§3-10氢原子问题§3-11力学量平均值随时间的变化守恒定律§3-1算符及其运算规则一、算符二、算符的运算规则三、算符的对易关系§3-1算符及其运算规则一、算符若某一运算将函数变为函数，记为uvvuFˆ则表示这一运算的符号称为算符。Fˆ动量算符和哈密顿算符是量子中常见的算符ipˆ22ˆ()2HUr量子力学中，算符表示它对波函数的一种运算或者操作。如动量算符表示对波函数的微商运算。11221122ˆˆˆ()FcccFcF如果算符满足称为线性算符。量子力学中的可观测量（也称为力学量或物理量，如坐标、动量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，而且对应的算符都是线性算符。这是量子力学的一个基本假设。力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。二、算符的运算规则1．单位算符Iˆ称为单位算符。显然，任意波函数皆为单位算符的本征态，且本征值为1。2．算符之和对任何波函数，有BABAˆˆ)ˆˆ(称算符为算符和算符之和。)ˆˆ(BAAˆBˆ算符的加法运算满足ABBAˆˆˆˆCBACBAˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ交换律：结合律：Iˆ对任何波函数，有3．算符之积对任何波函数，有)ˆ(ˆ)ˆˆ(BABA称算符为算符和算符之积。ˆˆ()ABAˆBˆ一般情况下)ˆˆ()ˆˆ(ABBAABBAˆˆˆˆ这是算符运算与普通代数运算的重要区别。4．算符之幂定义：算符的次幂Aˆn个nnAAAAˆˆˆˆ满足nmnmAAAˆˆˆ5．逆算符设Aˆ1ˆA称算符为算符的逆算符。1ˆAAˆ注意：并非所有的算符都具有相应的逆算符，只有当算符的本征值都不为零时才存在逆算符。满足IAAAAˆˆˆˆˆ116．算符的共轭Aˆ21对任意的波函数和以及算符，令dAA2*112ˆAˆAˆ定义算符的共轭满足dAdAdA*12*1*22*1)ˆ(ˆˆ即*1221()AA7．厄米算符AˆAˆ若算符等于其共轭，即AAˆˆ则称算符为厄米算符或自共轭算符。Aˆ引入厄米算符的意义在于，量子力学中可观测量对应的算符都是厄米的。**1221ˆˆ()AdAd例1．求常数算符的共轭。cAˆ*1212ccd即*cc所以，常数算符的共轭等于其复共轭。例2．求微分算符的共轭。xAˆ解：解：*1212dxxx分布积分*12dxx*12dxx**2121dxx*21dxx12x所以xx由此例可以看出，算符的共轭为ˆxpixˆˆxxpiipxx*12c**21cd例3．证明：。ABBAˆˆ)ˆˆ(解：因为**1221ˆˆˆˆ()()ABdABd*12ˆˆ()()BAd*12ˆˆBAd所以ABBAˆˆ)ˆˆ(ABCBACCBAˆˆˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆˆ(推广例4．求算符的共轭。ˆˆˆˆˆzyxLxpyp解：ˆˆˆˆˆzyxLpxpy由例2和例4可以看出，动量算符和角动量算符都是厄米算符。*12ˆˆ()BAdˆzLˆˆˆˆyxpxpyˆˆˆˆyxxpyp三、算符的对易关系1．对易关系引入符号ABBABAˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[称为算符和的对易关系或对易子。AˆBˆBˆAˆBˆAˆ0]ˆ,ˆ[BA如果，则称算符和是对易的（或可交换的）；否则，称和是不对易的。例如，对于坐标与动量算符，显然有zyxpp,,,0]ˆ,ˆ[0],[根据所研究的对象不同，有时要用到两个算符的反对易关系，其定义为ABBABABAˆˆˆˆˆ,ˆ]ˆ,ˆ[2．量子力学基本对易关系对于任意的状态，有ˆˆˆ[,]xxxxpxppxi()()(ixxxxx）所以ipxx]ˆ,[此即著名的海森堡对易关系，它是量子力学最基本的对易关系。因为[,]yyyxpxppx所以，因此[,]0yxpzyxip,,,]ˆ,[用类似的方法可知，时间与能量的对易关系为。ˆ[,]Eti例5．计算对易关系。]ˆ),([xpxf解：[(),]()()xxxfxpfxppfx()()ddifxifxdxdx()()()ddfxdifxiifxdxdxdx()dfxidx所以()ˆ[(),]xdfxfxpidx0yyxpxp3．对易关系代数的运算规则]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ABBA]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[BABA]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[CABACBAˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABCABCBCAABCBACBACBCAABCBAC]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[CBABCACBA例6．计算。ˆ[,]nxxp解：11ˆˆˆ[,][,][,]nnnxxxxpxxpxpx221ˆ[,]2nnxxxpix221ˆˆ[,][,]nnnxxxxxpxpxix1nnix利用例5结果，也可以求得1)(]ˆ,[nnxnnxidxxdipx例7．计算。]ˆ,[nxpx解：11ˆˆˆˆˆ[,][,][,]nnnxxxxxxppxpxpp1ˆnxinp221ˆˆˆˆˆˆ[,][,]nnnxxxxxxppxpxppip221ˆˆˆ[,]2nnxxxpxpip定义轨道角动量算符，则其分量形式为prLˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxzyyxzzyxLypzpiyzzyLzpxpizxxzLxpypixyyx]ˆ,ˆ[yxLp]ˆ,ˆ[xxLp例8．计算、。解：0]ˆ,ˆ[xxLpˆˆˆˆˆ[,][,]xyxxzpLpzpxpˆˆˆˆ[,][,]xxxzpzppxpˆˆ[,]xzpxpˆˆˆˆ[,][,]xzxzxpppxpˆˆ[,]xzxppˆzip引入记号（反对称三阶张量），定义01zxyyzxxyz总结起来，有ˆˆˆ[,]pLipˆˆˆ[,]Lpip例9．计算、。ˆ[,]xxLˆ[,]yxL解：ˆ[,]0xxLˆˆˆ[,][,]yxzxLxzpxpˆ[,]xxzpˆ[,]xzxpiz总结，有ˆ[,]Liˆ[,]Li解：例10．计算。ˆˆ[,]xyLLˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]xyzyyyLLypLzpLˆˆˆˆ[,][,]zyyyypLzLpˆˆxyiypixpˆziL总结，有ˆˆˆ[,]LLiLˆˆˆLLiLˆˆLL因为所以，上式也可写成ˆˆˆˆ()xyziLiLjLkiLˆˆˆˆˆˆ()()xyzxyzLiLjLkLiLjLkˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()yzzyzxxzxyyxLLLLiLLLLjLLLLk解：例11．角动量算符平方算符，计算。2222ˆˆˆˆzyxLLLL]ˆ,ˆ[2zLL]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[2222zzzyzxzLLLLLLLLˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,][,]xxzxzxyyzyzyLLLLLLLLLLLLˆˆˆˆˆˆˆˆ()xyyxyxxyiLLLLLLLL0总结，有0]ˆ,ˆ[2LL