4.3.2定积分的简单应用体积

课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动1．体会利用定积分求体积的思想方法．2．会利用定积分求简单几何体的体积．3．体会极限思想的应用．【核心扫描】1．利用定积分求简单几何体的体积．(重点)2．常与旋转体的概念等综合考查．(重点、难点)3．2简单几何体的体积【课标要求】课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动自学导引1．简单几何体的体积设旋转体是由连续曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a＜b)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成，设在区间[a，b]上点x处垂直x轴的截面面积为A(x)＝πf2(x)，则体积为V＝abπf2(x)dx.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动(1)简单旋转体体积的求解步骤①画出旋转前的平面图形和旋转体的图形；②确定轴截面图形的范围，即求交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数；④确定旋转体体积的表达式(用定积分表示)；⑤求出定积分，即旋转体的体积．2．简单旋转体体积求法(2)旋转轴是x轴的旋转体的体积公式是V＝πab[f(x)]2dx(a＜b)．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动提示本节定积分在几何中主要是求平面图形的面积，类似求面积，也可以利用定积分求空间几何体的体积，一般情况下，其旋转轴为x轴，根据旋转体的定义，旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧，而在利用定积分求旋转体的体积问题中则是一般的曲线．：如何类比平面图形的面积的求法求几何体的体积？课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动设由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与x轴围成的平面图形(如图甲绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V.名师点睛1．简单几何体的体积计算课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动在区间[a，b]内插入n－1个分点，使a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝1，把曲线y＝f(x)，a≤x≤b分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示．设第i个“小长条”的宽是Δxi＝xi－xi－1，i＝1,2，…，n.这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是Δxi的小圆片，如图乙所示．当Δxi很小时，第i个小圆片近似于底面半径为yi＝f(xi)的小圆柱，因此，第i个小圆台的体积Vi近似为Vi＝πf2(xi)Δxi.该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]．这个问题是积分问题，则有V＝abπf2(x)dx＝πabf2(x)dx.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数．(2)分清端点．(3)确定几何体的构造．(4)利用定积分进行体积表示．2．利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于3．一个以y轴为中心轴的旋转体的体积若求绕y轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y，其公式为V＝abπg2(y)dy.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动得到一个几何体，求它的体积．[思路探索]由旋转体体积的求法可知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积．题型一求简单几何体的体积【例1】给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图BC：y＝a.则该旋转体即圆柱的体积为：0aπ×a2dx＝πa2xa0＝πa3.求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为f(x)．确定积分上、下限a，b，则其体积V＝abπf2(x)dx.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【训练1】如图所示，给定直角边为a的等腰直角三角形，绕y轴旋转一周，求形成的几何体的体积．解形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积．∴V＝πa2·a－0aπy2dy＝πa3－π3y3a0＝πa3－π3a3＝2π3a3.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动[思路探索]解答本题可先由解析式求出交点坐标．把组合体分开来求体积．题型二求组合型几何体的体积【例2】如图，求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分别利用定积分求其体积．解解方程y2＝8xy0，x＋y－6＝0，得x＝2，y＝4.所以y2＝8x与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)．所求几何体的体积V＝02π(8x)2dx＋26π(6－x)2dx＝8π02xdx＋π26(x－6)2dx＝8π·12x220＋π·13x－6362＝16π＋64π3＝1123π.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．【训练2】求由曲线y＝2x，直线x＝1与x轴围成的平面图解旋转体的体积V＝01π(2x)2dx＝4π01x2dx＝4π×13x310＝43π×(13－03)＝43π.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动审题指导解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差．题型三有关体积的综合问题【例3】(12分)求由曲线y＝12x2与y＝2x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．【解题流程】画出草图→确定被积函数的边界→确定积分上、下限→用定积分表示体积→求定积分课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动[规范解答]曲线y＝12x2与y＝2x所围成的平面图形如图所示，设所求旋转体的体积为V，根据图像可以看出V等于曲线y＝2x，直线x＝2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线y＝12x2，直线x＝2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V2)．(2分)课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动V1＝02π(2x)2dx(4分)＝2π02xdx＝2π·12x220＝4π，(6分)V2＝02π12x22dx(8分)＝π402x4dx＝π4×15x520＝8π5，(10分)所以V＝V1－V2＝4π－8π5＝12π5.(12分)课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【题后反思】结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解决此类问题的一般方法．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动【训练3】求由y＝x＋1，y＝29x2以及y轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．解由y＝x＋1，y＝29x2，得x＝3，y＝2.V＝03π·(x＋1)dx－03π·481x4dx＝πx22＋x30－π·4405x530＝5110π.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动误区警示忽视了对变量的讨论而致错【示例】已知曲线y＝x2，y＝1x和直线y＝0，x＝a(a＞0)．试用a表示该四条曲线围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的几何体的何积．[错解]由y＝x2，y＝1x知交点坐标为(1,1)，由示意图可知，V＝0aπ(x2)2dx＝0aπx4dx＝π5x5a0＝π5a5.掌握对定积分的几何意义，不要忽视了变量a的讨论．课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动[正解](1)由y＝x2，y＝1x知交点坐标为(1,1)．由示意图可知，要对a与1的关系进行讨论．①当0＜a≤1时，V＝0aπ(x2)2dx＝0aπx4dx＝π5x5a0＝π5a5.②当a＞1时，V＝01π(x2)2dx＋1aπ1x2dx＝π01x4dx＋π1a1x2dx课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于：(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数．(2)分清端点．(3)确定几何体的构造．(4)利用定积分进行体积表示．＝π5x510＋π－1xa1＝π5＋π1－1a＝6π5－πa.∴所得旋转体的体积为V＝π5a50＜a≤1，65－1aπa＞1.课前探究学习活页规范训练课堂讲练互动单击此处进入活页规范训练