c1.4光谱线增宽

§1.4光谱线增宽§1.3光的受激辐射§1.5激光形成的条件第一章辐射理论概要与激光产生的条件§1.2原子能级和辐射跃迁§1.1光的波粒二象性11.4.1光谱线、线型和宽度原子发射的光的功率并不是全部集中在中心频率n0=（E2-E1）/h处，而是分布在中心频率n0附近一个很小范围内，这种现象称为谱线加宽。一、谱线加宽2实际上原子的自发辐射并不是单色光，而是分布在中心频率n0=(E2-E1)/h附近一个很小范围内，这种现象称为谱线加宽。0)()(IIfnnn光谱线的线型函数0()IIn图(1-10)光谱的线型函数二、光谱线的线型函数设某一条光谱线的总光强为I0，频率附近单位频率间隔的光强为，则频率附近单位频率间隔的相对光强为()In1.4.1光谱线、线型和宽度nn表示某一谱线在单位频率间隔的相对光强分布。二、光谱线的线型函数实际情况：光强分布在一个有限宽度范围内，相对光强在处最大，称为谱线的中心频率。理想情况：只有一种频率，相对光强为1，即光强百分百集中在该频率。1)(1)()(00000nnnnnndIIdIIdf线型函数的归一化条件：相对光强之和（积分）为1图(1-10)光谱的线型函数0n光谱线宽度定义为相对光强为最大值的一半处的频率间隔，即：式中各频率处光强满足：也称为光谱线的半宽度（FWHM)，简称光谱线宽度。)(21)()(021nnnfff12nnnn三、谱线宽度1.4.1光谱线、线型和宽度光谱线型对光与物质的作用的影响考虑光谱线线型的影响后，单位时间内，落在频率间隔内，自发辐射、受激辐射、受激吸收的原子跃迁数密度公式改为~dnnn总的自发辐射原子数密度总的受激辐射原子数密度总的受激吸收原子数密度22102)(nAdnnnnndfnB)(2021nnndfnB)(1012所以单位时间内自发辐射dννfnAνdn)()(2212dννfnBνdnν)()(2212dννfnBνdnν)()(1122dtnAdn2212dtnBdnν2212dtnBdnν1122受激辐射受激吸收包含各种频率其中为外来光总辐射能量密度。这种情况表明总能量密度为的外来光只能使频率为附近原子造成受激辐射。νdν00νn)()()(0212002122021νfBnνdνfBnνdνfnBnν1)当入射光的中心频率为，线宽为，但，如图(1-11a)，则单位时间内总的受激辐射原子数密度n等于：ννn0ν由于总的受激辐射(吸收)原子数密度与外来光的单色能量密度有关，分两种情况讨论：光谱线型对光与物质的作用的影响图(1-11a)外来光作用下的受激原子数密度此时受激辐射的跃迁几率为:)(02121νfBW同理，受激吸收跃迁几率为：)(01212νfBWn)()()(0212002122021νfBnνdνfBnνdνfnBnν1)当入射光的中心频率为，线宽为，但，如图(1-11a)，则单位时间内总的受激辐射原子数密度n等于：ννn0ν光谱线型对光与物质的作用的影响考虑到原子发光的线型函数以后，受激辐射（或吸收）几率不再是，还应乘上外来光中心频率处的原子光谱线的线型函数。vBW2121图(1-11a)外来光作用下的受激原子数密度221022100()ννnnBfνdνnB此时受激辐射的跃迁几率为:21210νWB同理，受激吸收跃迁几率为：12120νWB2)如果有，如图(1-11b)所示，则在单位时间内，总的受激辐射原子数密度n等于：νν因此，在外来光谱线宽度远大于原子光谱线宽的情况下，受激辐射跃迁几率与原子谱线中心频率处的外来光单色能量密度有关。图(1-11b)外来光作用下的受激原子数密度光谱线型对光与物质的作用的影响自然增宽是由于每个原子所固有的自发辐射跃迁引起原子在能级上的有限寿命而造成的。量子解释：由测不准原理——不可能同时测准微观粒子的时间和能量：由此可知，当原子能级寿命→∞时，能级的宽度→0，原子的有限寿命会引起能级的展宽，从而使得发出的光子的频率不再是单一频率，而是有一定的频率间隔Δv。/2nnE2E1E21EEhnE2E11.4.2自然增宽tE1.4.2自然增宽式中为原子自发辐射的平均寿命，为简谐振动频率为t=0时的振幅如不衰减线宽为零200cos20tUUettn0U0n图(1-12)电偶极子辐射场的衰减振动经典理论：原子可以看作由电子和原子核组成的作简谐振动的电偶极子，当正负电荷之间距离作频率为的简谐振动时，该原子辐射频率为的电磁波，而原子由于自发辐射而不断损耗能量，振幅服从阻尼振动规律。原子发光形成的电磁波是有一定长度的振幅按指数规律衰减的波列0n0n衰减振动不是简谐振动，因此原子辐射的波不是单色的，谱线具有有限宽度，即光谱线加宽了。由于原子发光中能量的衰减是必然的，所以称这种加宽机制为自然增宽。为运算方便，将上式写成复指数函数的形式titeeUtU0220)(n2202202)21()(4)()(nnnnUUI对上式进行傅立叶变换得到自发辐射的频谱对应光强分布为1.4.2自然增宽dteeUdtetUνUtννitνti)(22020)()(考虑到t0时U(t)=0，所以上式可写成：21)(2)(00)(22000ννiUdteeUνUtννit自然增宽的线型函数自然增宽的线型函数22020)21()(4)()(nnnAIvIfNnn11)(0AAdfN2202)21()(41)(nnnNf由归一化条件可计算出自然增宽的线型函数（洛仑兹线型函数）2202202)21()(4)()(ννUνUνIA为比例常数200AUI自然增宽的线型函数当时，最大当时，0nnn4)(0Nfnnn4102,1nnn2112N)(212)()()(021nnnnNNNNffff谱线半宽度（自然增宽）图（1-13）洛仑兹线型函数结论：自然增宽谱线具有洛伦兹线型谱，线宽度完全由原子在能级的自发辐射寿命决定，进一步说明了自然加宽是由原子具有有限的激发态寿命而引起的。一般原子发光平均寿命为10-5--10-8秒，自然增宽在十分之几MHz到几十MHz220)2()(2)(NNNfnnnnn用自然增宽来表达自然增宽的线型函数2202)21()(41)(nnnNf自然增宽的线型函数（洛仑兹线型函数）自然增宽的线型函数nnn2112N谱线半宽度（自然增宽）1.4.3碰撞增宽碰撞增宽是由于发光原子间的无规则碰撞造成的。这种碰撞会使原子发光中断或光波位相发生突变，即使发光波列缩短，这样引起谱线的增宽叫碰撞增宽，其线宽用表示。cn220)2()(2)(cccfnnnnn同理，可由傅立叶变换求出由碰撞增宽引起的谱线线型函数图（1-15）碰撞增宽的形成机理洛仑兹线型1.4.3碰撞增宽当发光原子同时具有碰撞增宽和自然增宽时，可以证明所得的线型仍为洛仑兹线型，其线宽为两者之和NncNHnnncn为比例系数，不同原子的不同谱线，其值不同。可由实验测得，估算碰撞增宽a碰撞增宽应和原子间的碰撞频率Z（即一个原子每秒和其他原子碰撞的次数）成正比。因气体压强越大，碰撞次数Z越大，故碰撞引起的谱线加宽与压强P成正比：cnaPcnMHzc200~100n注意：“碰撞”一词，并非一定是两个原子相撞，而是指当两原子间距足够近时，原子间的相互作用力足以改变原子原来的运动状态。固体、气体材料的原子所发光的谱线都存在碰撞增宽。固体发光的碰撞增宽是由相邻原子之间力的相互作用改变了原子原来的运动状态。一般气体发光时碰撞增宽大于自然增宽。1.4.3碰撞增宽1.4.4多普勒增宽光的多普勒效应：光源或接收器之间存在相对运动时，接收器接受到的光波频率不等于光源与接收器相对静止时的频率。多普勒增宽：作为光源的每个发光原子相对于观察者（接收器）的运动速率和方向都不同造成的发光光波频率变化也不同，造成发光谱线被增宽。式中为光源与接收器相对静止时的频率。一般情况下v远小于真空光速，并且光源与接收器相对趋近时，v取正值；两者背离时，v取负值。上式取一级近似可得若光在介质中传播时，光速应为，则此时的频率可写成光的多普勒效应纵向多普勒效应：设光源与接收器在两者连线方向的相对速度为v，则接收到的光的频率为0v1v1nncc0n)v1(0cnnc)v1(0nnc光的多普勒效应横向多普勒效应：当光源与接收器之间的相对速度在垂直于两者连线方向时，此时的频率为式中为垂直于光源与接收器连线方向的相对速度一般光的横向多普勒效应比纵向多普勒效应弱很多，常忽略不计。v20v1()cnn气体发光的多普勒增宽气体放电管中一个静止原子的发光频率为，原子的运动速度为v，在z方向的分量为vz，一般有vzc，则接收器接收到的光频率为现讨论大量同类原子的发光，由于原子运动速度各不相同，不同速度的原子所发出的光被接收时的频率也各不相同，因此引起谱线频率增宽。0v(1)zcnn0n图(1-16)发光原子相对接收器的运动设发光原子在单位体积内的原子总数为n，则根据麦克斯韦分布律知，具有速度分量为(vz，vz+dvz)的原子数为zkTmzdekTmndnzv)2(2v212zkTmzdekTmndnzv)2(2v212式中m为原子(或分子)质量，T为热力学温度，k为玻尔兹曼常数。速度分量在vz～vz+dvz范围内的原子数占总数的百分比为气体发光的多普勒增宽多普勒增宽的线型函数不同速度的原子所发出的光被接收时的频率也不相同，由于频率与速度分量有一一对应的关系。频率在之间的光强与总光强之比与速度分量在vz-vz+dvz之间的原子数与总原子数之比相等因而nnnd,()zDdnfdnnnzkTmzDdekTmndndfzv)2()(2v212nn多普勒增宽的线型函数由多普勒效应可以导出速度和光源静止时光的频率、光源运动时光的频率之间的关系以及速度微分和频率微分之间的关系ccz)(v)v1(00z0nnnnnnndcd0zv0)(2212002)2()(nnnnncekTmfkTmcD上两式代入前式可得多普勒增宽的线型函数（高斯线型函数）表达式：图(1-17)高斯线型函数高斯线型函数的半宽度在光源静止时，，线型函数取最大值在半极大值时对应的频率为多普勒增宽为用多普勒增宽来表示多普勒增宽（高斯线型）线型函数2100)2()(kTmcfDnn2122002)2ln2(mckTnnn2122001)2ln2(mckTnnn212012)2ln2(2mckTDnnnn])(2ln4[2120)2ln(2)(DefDDnnnnn0νν常用的两种激光器的多普勒增宽原子(或分子)质量为，并代入玻尔兹曼常数和真空光速有式中为原子(或分子)量对于氦氖激光器中氖原子发出的激光0.6328微米，原子量为20，取T=400K，因此对于二氧化碳激光器发出的10.6微米波长激光，分子量为44，同样取T=400K，则比较三种谱线增宽知道自然增宽远小于碰撞增宽和多普勒增宽(Page19、20、23)071016.7nnmolDT271.6610kgmolmolMHzD60nMHzD1500n1.4.5均匀增宽和非均匀增宽均匀增宽：自然增宽和碰撞增宽每个原子发光时，发出整个线型，即对谱线宽度内任一频率都有贡献，而且每个原子对于谱线增宽的贡献都是相同的。引起加宽的物理因素对每个粒子都是等同的（相同的平均寿命和碰