高数第二章-导数与微分--课件

第二章导数与微分§2-1导数概念一、引例(一)直线运动的速度(二)切线问题1、切线意义设有曲线上一点M,在点M外另取作割线,当点N沿曲线C趋于点M时,如果割线绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线。CC及NC上一点MNMN2、切线斜率的求法设是曲线C上的一个点,则就是曲线C在点处切线的斜率。000,Mxy0000limxxfxfxkxx000,Mxy二、导数的定义(一)函数在一点处的导数1、定义：设函数的某个邻域内有定义,当自变量处取得增量（点仍在该邻域内）时,相应地函数取得增量，0yfxx在点0xx在x0xxy00yfxxfx如果之比当时的极限存在，则称函数处可导，并称这个极限为处的导数。记作、yx与0x0yfxx在点0yfxx在点0fx000xxxxxxdfxdyydxdx、、或即函数处可导，也说成具有导数或导数存在。如果不存在，就说函数处不可导。00000=limlimxxxxfxxfxyyxx0yfxx在点0fxx在点0limxyx0yfxx在点如果不可导的原因是也往往说函数处的导数为无穷大。0yxx时0yfxx在点2、求导的不同形式或(当时,)00001limxfxxfxfxx0000limhfxhfxfxh00002limxxfxfxfxxx0003limhahfxghfxfxghhah0gh例1．设求12fxxxxxn0f例2．已知存在，求0fx000limhfxahfxbhh3、导数的意义函数处的导数是因变量处的变化率,它反映了处因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。0yfxx在点0fx0yx在点0x在点（二）导函数1、定义：如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在开区间内可导，此时对于任一,都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导数，记作yfxIyfxIxIfxyfx,,dfxdyyfxdxdx或2、导函数的求法注：在求极限过程中是常量。01limxfxxfxfxx02limhfxhfxfxhx例3．求函数的导数。例4．求函数在处的导数。fxCC为常数nfxxnNxa例5．求的导数。例6．求函数的导数。sinfxxlog01afxxaa且例7．求函数的导数。01xfxaaa且3、导函数在点处的导数的关系(1)函数在某点处的导数是导函数在该点处的函数值,即.(2)是一个常数,是一个函数,两者均与无关。fxfx和0x0fx00fxfxxx=0fxfxx例8．求函数处的导数。0fxxx在例9．函数对任意均满足且有，其中为非零常数，则（）（A）处不可导（B）处可导且（C）处可导，且（D）处可导且fxx1fxafx0fbab、1fxx在1fxx在1fa1fxx在1fb1fxx在1fab（三）单侧导数1、定义：若极限存在，则称这两个极限分别为函数的左导数和右导数，记作即左导数和右导数统称为单侧导数。-000limhfxhfxh及+000limhfxhfxh0yfxx在点0+0fxfx及000000+00=limlimhhfxhfxfxhfxhfxfxh2、导数、左导数、右导数三者之间的关系函数处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在而且相等。0fxx在点0fx0fx例10．设函数,其中是有界函数，问处是否可导。22ln100xxfxxxgxxgx0fxx在3、在闭区间上可导如果函数在开区间内可导，且都存在，就说在闭区间上可导。fx,abfx,abfafb及fx,ab三、导数的几何意义：函数处的导数，在几何上表示曲线处的切线的斜率，即，特别的是，如果的导数为无穷大，此时切线的倾角为，故此时的切线垂直于轴，切线方程为0yfxx在点0fx00,yfxMxfx在点0tanfx0yfxx在点2x0xx(二)曲线在点处的切、法线方程1、切线方程：2、法线方程(1)法线：过切点且与切线垂直的直线叫做曲线处的法线.(2)法线方程：如果,则法线方程为：若,则法线方程为000,Mxy000yyfxxx000,MxyyfxM在点00fx0001yyxxfx00fx0xx例11．求等边双曲线在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。例12．求曲线的通过点的切线方程。1yx1,2232yx0,4四、函数可导性与连续性的关系(一)若函数处可导,则函数在点处必连续.(二)函数在某一点连续却不一定在该点处可导0yfxx在点0x例13．函数内连续,但在点处不可导。3()yfxx在区间-+，0x例14.设函数则在点处（）．(A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导21sin,00,0xxfxxxfx0x例15．设周期函数在内可导，周期为4，又求曲线在点处的切线的斜率。fx(,)0(1)(1)lim12xffxx()yfx5(5)f，§2-2函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则（一）定理1如果函数及都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点具有导数，且()uux()vvxxx（1）（2）（3）()()()()uxvxuxvx()()()()()()uxvxuxvxuxvx2()()()()()(()0)()()uxuxvxuxvxvxvxvx例1．求例2．求例3.求(sincos)xyexxytanyxysecyxy（二）推广若函数处可导,则有12,,,nuxuxuxx在点121nuxuxux．12nuxuxux例4．求及3()cossin2fxxx()fx()2f12nuxuxux2．12nuxuxuxux３＋12nuxuxux1nuxuxux－１ｎ＋＋uxcux3.c例5．若求.例6．设求1lim1txxfttxft12fxxxxxn0f二、反函数的求导法则定理2：如果函数在区间内单调、可导，且，则它的反函数在区间内也可导，且。xfyyI0fy1yfx,xyIxxfyyI111dyfxdxfydxdy或例7．求的导数例8．求的导数。arcsinyxlog01ayxaa且三、复合函数的求导法则（一）定理3：如果可导，而可导，则复合函数可导，且其导数为：ugxx在点yfuugx在点yfgxx在点dydydydufugxdxdxdudx或例9．例10．lntandyyxdx求3212dyyxdx求(二)推广：复合函数的求导法则对于多个中间变量的情形也是成立的例如可导函数则复合函数的导数为yfuuvvmmgxfgxdydydudvdmdxdudvdmdx例11．lncosxdyyedx求例12．设证明幂函数的导数公式.0x1xx(三)复合函数的求导法则应用它的基本方法是把复合函数中的某些量看作整体，把多步复合看作两步复合，重复进行下去即可。例9．1sin,xyey求(四)复合函数求导注意的问题1、搞清复合关系,从外层到内层一步一步进行求导运算，不要遗漏复合过程。2、当即有四则运算又有复合函数运算时，要弄清运算程序，做到先考虑运算，后考虑复合。例14．求函数的导数。2tansinyfxfx例15．已知求：例16．设232arctan32xyffxxx0xdydxln.fxyfxey求四、基本求导法则与导数公式(一)常数和基本初等函数的导数公式1.0C12.xx3.sincosxx4.cossinxx25.nsectaxx26.cotcscxx7.secsectanxxx8.csccsccotxxx9.lnxxaaa10.xxee111.loglnaxxa112.lnxx2113.sin1arcxx2114.cos1arcxx2115.arctan1xx2116.arccot1xx(二)函数的和、差、积、商的求导法则设都可导,则有uuxvvx及1.,uvuv2.cucuc是常数3.,uvuvuv24.0uuvuvvvv(三)反函数的求导法则设内单调可导,且,则它的反函数内也可导,且yxfyI在区间fy01xyyfxIfI在111dyfxdxfydxdy或(四)复合函数的求导法则设且都可导,则复合函数的导数为或yfuugx而fugx及yfgxdydydudxdudxyxfugx例17．证明下列双曲函数及反双曲函数的导数公式，21shxchxchxshxthxchx221111arshxarchxxx211arthxx例18．求的导数。例19．21cossinarctanyxthxxsinsinnynxxny为常数，求§2-3高阶导数（一）二阶导数1、定义：把的导数叫做函数的二阶导数，记作即相应地，把的导数叫做的一阶导数。yfxyfx22dyydx或22=dyddyyydxdxdx=或yfxfxyfx例1．证明：函数满足关系式。22yxx310yy2、路程函数的导数的意义设物体沿着一条直线运动的方程为,则即路程对时间的二阶导数为加速度。SStdsvdtddsadtdtSSt例2．设,其中具有二阶导数,求。2sinyfxf22dydx1、定义：把阶导数的导数叫做，记作2、高阶导数：二阶及二阶以上的导数叫高阶导数n二阶导数1nn阶导数.nnndyydx或3、注意：如果函数在点具有n阶导数，那么在点的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数fxfx0x0x(1)(1)00()00limnnnhfxhfxfxh例3．设，则使存在的最高阶数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3323fxxxx0nfn二、