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1数学在物理中的应用陈益尖前言物理要创新,不仅仅光靠物理实验,还要有数学做为理论基础。象著名的物理学家——牛顿,谁都可能看到苹果落地,也可想到引力作用,你推导不出规律,而他可以推导出万有引力定律,正因为他有深厚的数学功底,并且会运用数学解决物理问题,而一般人没有。象著名的物理学家——爱因斯坦,由于他有高深莫测数学理论,导出了质能能方程,提出了相对论。他们既是物理学家,又是数学家。然而,在我们教的学生中,有很多这样学生,数学很好,物理很差,反之,物理很好,数学很差。如何做到两者并进呢?就必须有这样一本指导性的书,让他们学好数学,用好物理,因此,今天,我将自已的《数学与物理》一书,提供给大家,希望喜欢。目录第一章、几何与矢量一、平面几何与矢量二、解析几何与物理三、立体几何在物理中的应用2第二章、方程与物理一、方程与物理二、判别式的应用第三章、函数的应用一、函数图像的应用二、性质的应用第四章、三角与物理第五章、数列与物理第一章、几何与物理一、三角形与矢量矢量,因有三角形而精彩,三角形,因有矢量而实用。在矢量的合成和分解中,我们应用平行四边形定则进行运算,其实在运算过程中,主要是运用三角形性质,解决问题。那么,三角形在矢量中,除了直角三角形(其他资料上,讲的比较多,不再讲)外,其他任意三角形,有哪些应用?两个三角形相似比的应用例1如图所示,绳与杆均不计重力,所承受弹力的最大值一定,A点正上方(滑轮大小及摩擦均可忽略),B端吊一重物3P。现施拉力T将B端缓慢上拉(绳、杆均未断),在杆达到竖直前,下列说法中正确的是A、绳子越来越容易断B、绳子越来越不容易断C、杆越来越容易断D、杆越来越不容易断分析:OB绳子的拉、物体的重力、AB杆的弹力共点在B点,设OB=S(变小),AO=H(定量),AB=L(定量)。滑轮大小不计,对B点受力分析,如图可知△ABO∽△PCB,得出对应边成比例,则T/G=S/H即T=SG/H变小N/G=L/H即N=LG/H=恒量可得:B答案正确。余弦定理的应用例2、物体受到夹角为120°的两个共点力作用,它们的大小分别为10N、20N,则物体合力的大小为多少?分析:根据平行四边形定则,合外力平分的两个三角形,不可能是直角三角形,只能运用余弦定理求解,这两个三角形4中,其中的一个角为180°-120°=60°,则有F=60cos2212221FFFF=2120102201022=310N余弦定理的应用,在二十世纪80年代,使用的甲种本课本有详细论述。正弦定理的应用例3、如图,用两条绳子拉质量为G的物体,平衡时,两条绳子跟竖直方向的夹角分别为1、2,求两条绳子的拉力?分析:如图,根据平衡条件,由△ABD得)sin(sin2112GT即)sin(sin2112GT)sin(sin2121GT即)sin(sin2121GT三角形在物理中,还有其他的应用。不再做一一分析。二、解析几何与物理解析几何在中学阶段,在物理中的应用,很少看到。它究竟有没有功用,如何去开发?根据本人的理解如下。5确定物体运动的轨迹物体运动轨道,一般都是由物理现象,物理实验观察出来,很少通过理论进行推导,例如平抛运动,我们完全可以通过数学推导,得出平抛运动的轨迹是一条抛物线。推导:在水平方向上有tvx0⑴在竖直方向上有221gty⑵⑴、⑵两式,显然是关于时间的参数方程,把时间化去得2202xvgy从这个方程中,看到它的轨迹,是一条抛物线。通过观察和数学推导,更加加深我们对平抛运动的理解。例1、质量数为m、质子数为q的原子核,在垂直于匀強磁场方向的平面上,由静止发生衰变,变为新核的运动轨迹为222ryx,求粒子运动的圆心轨迹?分析:设新核的质量数为1m,粒子的质量数为m,根据动量守恒定律得vmvm11⑴由牛顿第二定律得对新核有rvmqBv21111即rvmBq111⑵6对粒子有RvmBev22即RvmBe2⑶由电荷守恒得eqq21⑷由⑴、⑵、⑶、⑷联立解得reeqR22由左手定则,可知粒子与新核的运动,是一个外切圆,圆心之间的距离为reqreeqrRrd222可见,粒子运动的圆心轨迹为222)2(reqyx已知轨迹方程求物理量例2、一带电粒子,在垂直于磁场方向的平面运动,运动轨迹为4)4()3(22yx,两坐标轴都以m为单位,粒子运动的速率为2m/s,在某时刻,突然撒去磁场,粒子恰好经过原点,求从撒去磁场到粒子达到原点的时间为多少?分析:撒去磁场时,粒子以2m/s做匀速直线运动,离开时,必于原来的圆轨道相切,圆心、原点、切点构成一个直角三角形,圆心与原点的距离为md54322圆的半径为mr2根据勾股定理得原点与切点的距离为ms212522从撒去磁场到粒子达到原点的时间为svst221无论粒子沿轨道顺时针(或逆时针)运动,结7果一样。三、立体几何在物理中的应用立体几何在物理中的应用,主要是将立体几何在数学中证明与计算的空间思维能力,潜移默化到物理中来,也就是在解决问题时,将三维空间转化为二维空间,简化解决问题的方法。例1、如图,A、B两质点以相同的水平速度0v抛出,A在竖直平面内运动,落地点为1p,B在光滑斜面上运动,落地点为2p,不计阻力,比较1p、2p在轴x方向上的远近关系是A、1p较远B、2p较远C、1p、2p等远D、A、B都可能分析:A在竖直平面内运动,说明A做平抛运动,则得水平位移为ghvx201B在光滑斜面上运动,设倾斜角为,得沿斜面向下的加速度为singa8B在斜面做类似平抛运动,在沿斜面向下的方向有2sin21sintgh即ght2sin1水平方向的位移为ghvx2sin02即1022xghvx可知2p较远应选B本题主要是将立体问题转化为平面问题求解,也就是数学,常用的一种思路。例2、如图,一直角斜槽(两槽面间夹角为900,两槽面跟竖直面的夹角均为450)对水平面的倾角为,一个横截面为正方形的物块恰能沿此斜槽匀速下滑,假定两槽面的材料和槽面的情况相同,求物块和槽面之间的动摩擦因数u。分析:本是立体问题,将它转化为平面求解,如图(1),正方形的物块与直角斜槽。两个面接触,有两个大小相等的弹力N,由力的合成得出它们为N2方向垂直斜槽底边向上,如图(2)在垂直斜槽底边的方向上有9cos2mgN⑴在平行斜槽底边的方向上有sin2mgNu⑵由⑴、⑵解得tan22u第二章、方程与物理一、方程与物理方程,在物理中,不仅在推理物理规律方面,起着关键性作用,而且在解决物理问题方面,更是必不可缺的资源。在数学中,方程的种类众多,而在我们中学阶段,应用方程解决物理问题,主要是多元一次方程组,一元二次方程10等等。在解决问题时,一般都是由物理条件和物理规律,先建立方程,后根据方程求解,得出需求量。例1、某同学在斜向上运动的电梯上,以相对电梯不变的速度,从二楼走到一楼,数得电梯阶级60,从一楼走到二楼,数得电梯阶级20,求从一楼到二楼电梯的级数。分析:由于只知上去和下来电梯的级数,电梯速度、人相对地速度、人相对电梯速度都不知,要得所求,先建立上去一个方程,下来一个方程,还不够,再根据运动合成的等时性,最后可求。解:设从一楼到二楼电梯的级数为N,上去时,电梯运动的级数为M′,下来时,电梯运动的级数为M″,可得上去时有20+M′=N(1)下来时有60-M″=N(2)根据等时性得M′/M″=20/60=1/3(3)联立上面方程组解得:N=30本题还有其他解。例2、将物体以初速度20m/s,竖直上抛,求物体经过离抛出点10m高处,所用时间是多少?(g=10m/s2)分析:因为物体上升的最大高度为H=mgv20102202220,所以物体经过10m高处有两个解,物体运动过程是匀减速运动,利用匀减速运动规律,列一个一元二次方程,即可求。11解:设物理经过10m高处,所用时间为t,得H=2021gttv即0242tt解得:221t222t当然,还有其他解法。关于运用方程解决物理问题,举不胜举,就讲这么多。二、判别式的应用一元二次方程有没有解,是通过判别式来判定,当Δ0时,有两个解;当Δ=0时,有一个解;当Δ0时,没有解。两个物体运动中相遇的问题,是否能通过判别式来判定呢?下面即这个问题进行讨论。例1、有一直轨道很长,可以通过两个物体A、B不发生相碰,B在A前方100m处,A以20m/s速度做匀速直线运动,同时B也以2m/s²的加速度从静止开始做匀加速度直线运动,则A、B物体是否相遇,若相遇,有多少次?思路:由于同时出发,若相遇,所用时间相同,设时间,根据位移的关系建立一个关于时间的二次方程。直接解方程,或利用判别式求解。解:设A、B两物体从出发到相遇的时间为t,则A经过的位移为12vtSA=20tB经过的位移为221atSB=2t依题意得100BASS即2t-20t+100=0(这就是一个关于时间的二次方程)根据判别式Δ=(-20)²—4×100×1=0可知A、B相遇,且只有一次。若本题变为:有一直轨道长为150m,可以通过两个物体A、B不发生相碰,B在A前方100m处,A以20m/s速度做匀速直线运动,同时B也以2m/s²的加速度从静止开始做匀加速度直线运动,A、B物体是否在直轨道内相遇?分析:假设它们相遇,仍得到2t-20t+100=0若用判别式判断,显然是错的,用求根法判断,可得到它们不能在直轨道内相遇。这两题告诉我们,使用判别式时,要注意物理条件,在条件允许的情况下,可用,不能乱套数学公式。例2、在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B,质量分别为m和2m,当两球心的距离大于L(L比r大得多)时,两球之间无相互作用力,当两球心间的距离等于或小于L时,两球之间存在相互作用的恒定斥力F,设A球从远离B球处以速度V0沿两球心连线向原来静止的B球运动,欲使两球不发生接触,V0必须满足什么条件?13思路:当A进入两球心间的距离等于L时,B开始做初初速度为零的匀加速直线运动,同时A也开始做匀减速直线运动,假设它们经过t时间发生接触,建立一个二次方程式,再运用判别式求解。解:设A进入两球心间的距离等于L时,到两球恰好接触,所用时间为t根据牛顿第二定律A球加速度为mFaAB球加速度为mFaB2A球运动的位移为202tmFtvsAB球运动的位移为24tmFsB如图得LsrsBA2即024302rLtvtmF由于两球不接触,上式没有解,则Δ=)2(434)(20rLmFv0得mrLFv)2(30小结1、运用判别式解决物理问题时,先要建立一个关于某物理量的二次方程,再求解;2、使用时要注意物理条件,在条件允许的14情况下,可用,不能乱套数学公式。第三章、函数的应用一、函数图像的应用物理规律,大都是运用函数图像,定性、定量进行研究,最后得出物理规律。函数图像,在物理中,可以说是遍地开花。它通过数形结合,直观、形象地反映物理过程。加深人们对物理规律的理解,下面谈谈函数图像的应用。分析实验数据得出物理规律在物理实验中,先采取了控制变量法,测出两个物理量的数据,然后,进行数据分析:一种是计算法,另一种是图像法。而后一种更被人们认可,因为有些实验数据,无法通过计算,得到两个量之间的关系。只有图像法,以两个量分别为两条坐标轴,建立直角坐标,描点画出图像,就可以通过图像,定性或定量分析它们之间的关系,得出规律。所以函数图像,在实验数据分析中,起决定作用。运用函数图像解决物理问题函数图像,不光是在实验数据分析中,起决定作用,而且在解决物理问题中,化难为易,化复杂为简单,起到事半功倍的作用。15例1、做匀变速直线运动的物体,在某一段时间内,经过中点时刻的速度跟经过中点位置的速度,比较谁大。分析:假如先设初、未速度,再根据经过中点时刻的速度1v与经过中点位置的速度2v分别跟初、未速度的关系,列方程,然后,运用不等式求解,要大费周折,才
本文标题:数学在物理中的应用
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