2016届中考精英总复习数学专题习题课件：专题五 开放与探索问题(共25张PPT)

数学专题五开放与探索问题开放型问题的类型通常有：条件开放、结论开放、条件和结论都开放型，解决这类问题，首先经过探索确定结论或补全条件，将开放型问题转化为封闭型问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答．探究型问题的类型一般包括存在型、规律型、决策型等．解存在型问题一般思路：假设结论某一方面存在，然后推理，若推出矛盾，即否定假设，若推出合理结论，则可肯定假设．开放型问题【例1】(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．EH＝FH分析：(1)根据全等三角形的判定方法，可得出当EH＝FH，BE∥CF，∠EBH＝∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH；(2)由(1)可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH＝EH时，四边形BFCE是矩形．解：(1)添加EH＝FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH＝CH，在△BEH和△CFH中，BH＝CH，∠BHE＝∠CHF，EH＝FH，∴△BEH≌CFH(SAS)(2)∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形，∵当BH＝EH时，则BC＝EF，∴平行四边形BFCE为矩形探索型问题【例2】(2015·随州)如图，已知抛物线y＝28(x＋2)(x－4)与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．(1)求点A，B，C的坐标；(2)设动点N(－2，n)，求使MN＋BN的值最小时n的值；(3)P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似(△PAB与△ABD不重合)？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．分析：(1)令y＝0可求得点A,B的横坐标，令x＝0可求得点C的纵坐标；(2)根据两点之间线段最短作B点关于直线x＝－2的对称点B′，当N(－2，n)在直线MB′上时，MN＋BN的值最小；(3)需要分类讨论，根据相似三角形的性质求得PB的长度，然后可求得点P的坐标．解：(1)A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－2)(2)过点A(－2，0)作y轴的平行线l，则点B关于l的对称点B′(－8，0)，M(1，－982)，连接B′M与l的交点即为使MN＋BN的值最小的点N，则直线B′M的解析式为y＝－182x－2，∴当x＝－2时，n＝－342(3)假设存在点P(t，28(t＋2)(t－4))，使以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似，下面分三种情况讨论：(Ⅰ)当点P在第一象限时，显然∠PBA为钝角，∠BAD与∠ABD为锐角，过D作DE⊥x轴于点E，过P作PF⊥x轴于点F，易得D(2，－2)．①若∠PAF＝∠DAE，则△PAF∽△DAE，∴PFDE＝AFAE，∴4×28(t＋2)(t－4)＝2(t＋2)，∴t1＝－2(舍去)，t2＝6，t＝6时，PF＝22，AF＝8，PA＝62，又∵AD＝32，∴PAAB＝2，ABAD＝2，∴PAAB＝ABAD，∴t＝6时，△PAB与△BAD相似，且P(6，22)；②若∠PAF＝∠DBE，则△PAF∽△DBE，∴PFDE＝AFBE，∴2×28(t＋2)(t－4)＝2(t＋2)，∴t1＝－2(舍去)，t2＝8，t＝8时，AF＝10，PF＝52，PA＝56，∵BD＝6，∴PAAB＝566，ABBD＝6，PABD＝5，显然PAAB≠ABBD，且PABD≠ABAB，∴t＝8时，△PAB与△ABD不可能相似；(Ⅱ)当点P在第二象限时，根据对称性易知存在点P(－4，22)，使△PAB∽△BDA(当然，也可以像(Ⅰ)中一样计算得出)；(Ⅲ)当点P在x轴下方时，根据对称性易知存在点P(0，－2)，使△PAB∽△DBA.综上可知，存在点P1(6，22)，P2(－4，22)，P3(0，－2)三点使以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似1．当m＝_______________________________________时，一次函数y＝mx＋m－5的函数值y随x的增大而增大且不过第四象限．2．如图，已知平行四边形ABCD，点E是AB延长线上一点，连接DE交BC于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使△CDF≌△BEF，这个条件是____________________．(只要填一个)答案不唯一，m≥5即可，如：6等DC＝EB或CF＝BF等3．(2015·郴州)如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：△AOE≌△COF；(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵O是CA的中点，∴OA＝OC，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)(2)EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形．理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形4．(2015·酒泉)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)，把点A(0，4)代入上式得a＝45，∴y＝45(x－1)(x－5)，即y＝45x2－245x＋4，配方得y＝45(x－3)2－165，∴抛物线的对称轴是x＝3(2)P点坐标为(3，85)．理由：∵点A(0，4)，抛物线的对称轴是x＝3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6，4)，如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y＝kx＋b，把A′(6，4)，B(1，0)代入得4＝6k＋b，0＝k＋b，解得k＝45，b＝－45，∴y＝45x－45，∵点P的横坐标为3，∴y＝45×3－45＝85，∴P(3，85)(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N(t，45t2－245t＋4)(0＜t＜5)，如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G，作AD⊥NG于D，由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为y＝－45x＋4，把x＝t代入得y＝－45t＋4，则G(t，－45t＋4)，此时NG＝－45t＋4－(45t2－245t＋4)＝－45t2＋4t，∵AD＋CF＝CO＝5，∴S△ACN＝S△ANG＋S△CGN＝12AD·NG＋12NG·CF＝12NG·OC＝12×(－45t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－52)2＋252，∴当t＝52时，△CAN面积的最大值为252，由t＝52，得y＝45t2－245t＋4＝－3，∴N(52，－3)1．(2014·荆州)如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是()A．∠ACD＝∠DABB．AD＝DEC．AD2＝BD·CDD．CD·AB＝AC·BDD2．请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式___________________________________________________________．①过点(3，1)；②在第一象限内y随x的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2.答案不唯一，如：y＝3x，y＝－13x＋2，y＝－16x2＋52等3．(2015·长春)在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在边AD上取点E，使AE＝AB，连接CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F.猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为_______________________；探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G，判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明；应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．AF＝DE解：猜想：AF＝DE探究：AF＝DE.证明：∵∠A＝∠FEC＝∠D＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，又∵AE＝CD，∴△AEF≌△DCE，∴AF＝DE应用：∵△AEF≌△DCE，∴AE＝CD＝AB＝2，AF＝DE＝3，FB＝FA－AB＝1，∵BG∥AD，∴BGAE＝FBFA，∴BG＝234．(2015·深圳)如图1，关于x的二次函数y＝－x2＋bx＋c经过点A(－3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；(3)如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC＝3S△EBC，若存在求出点F的坐标．解：(1)y＝－x2－2x＋3(2)存在．当P在∠DAB的角平分线上时，如图1，作PM⊥AD，设P(－1，m)，则PM＝PD·sin∠ADE＝55(4－m)，PE＝m，∵PM＝PE，∴55(4－m)＝m，解得m＝5－1，∴P点坐标为(－1，5－1)；当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，设P(－1，n)，则PN＝PD·sin∠ADE＝55(4－n)，PE＝－n，∵PN＝PE，∴55(4－n)＝－n，解得n＝－5－1，∴P点坐标为(－1，－5－1)．综上可知，存在满足条件的点P，其坐标为(－1，5－1)或(－1，－5－1)(3)∵S△EBC＝3，又2S△FBC＝3S△EBC，∴S△FBC＝92，设点F的坐标为(x，－x2－2x＋3)，过点F作FM垂直y轴于点M，并与BC交于点N，如图3，CM＝CO－MO＝3－(－x2－2x＋3)＝x2＋2x，易得MN＝13CM＝13x2＋23x，∴FN＝FM＋MN＝－x＋13x2＋23x＝13x2－13x，∴S△FBC＝S△CFN＋S△FNB＝12FN·CM＋12FN·MO＝12FN·CO＝32(13x2－13x)＝92，∴x2－x－9＝0，解得x＝1－372或1＋372(舍去)，∴F(1－372，337－152)5．(2015·苏州)如图，已知二次函数y＝x2＋(1－m)x－m(其中0＜m＜1)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l，设P为对称轴l上的点，连接PA，PC，PA＝PC.(1)∠ABC的度数为____°；(2)求P点坐标(用含m的代数式表示)；(3)在坐标轴上是否存在点Q(与原点O不重合)，使得以Q，B，C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．45解：(2)如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为x＝－1＋m2，设点P坐标为(－1＋m2，n)，∵PA＝PC，∴PA2＝PC2，即AE2＋PE2＝CD2＋PD2，∴(－1＋m2＋1)2＋n2＝(n＋m)2＋(1－m2)2，解得n＝1－m2，∴P点的坐标为(－1＋m2，1－m2).(3)存在点Q满足题意，∵P点的坐标为(－1＋m2，1－m2)，∴PA2＋PC2＝AE2＋PE2＋CD2＋PD2＝(－1＋m2＋1)2＋(1－m2)2＋(1－m2＋m)2＋(1－m2)2＝1＋m2.∵AC2＝1＋m2，∴PA2＋PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴△PAC是等腰直角三角形．∵以Q，B，C