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不等关系与不等式(2)教学目标•1、掌握不等式的性质及其推论,并能证明这些结论。•2、进一步巩固不等式性质定理,并能应用性质解决有关问题。•教学重点:•1、不等式的性质及证明。•2、不等式的性质及应用判断两个实数大小的依据是:000abababababab作差比较法这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.知识回顾性质1:如果ab,那么ba;如果ba,那么ab.性质1表明,把不等式的左边和右边交换位置,所得不等式与原不等式异向,我们把这种性质称为不等式的对称性。新知探究a>bb<a(对称性)性质2:如果ab,bc,那么ac.证明:根据两个正数之和仍为正数,得00ababbcbc(a-b)+(b-c)0a-c0ac.这个性质也可以表示为cb,ba,则ca.这个性质是不等式的传递性。a>b,b>ca>c;a<b,b<ca<c(传递性)性质3:如果ab,则a+cb+c.证明:因为ab,所以a-b0,因此(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b0,即a+cb+c.a>ba+c>b+c(可加性)性质3表明,不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向.由性质3可以得出推论1:不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边。(移项法则)a+bca+b+(-b)c+(-b)ac-b.a+bcac-b.性质4:如果ab,cd,则a+cb+d.证明:因为ab,所以a+cb+c,又因为cd,所以b+cb+d,根据不等式的传递性得a+cb+d.几个同向不等式的两边分别相加,所得的不等式与原不等式同向。a>b,c>da+c>b+d(同向可加性)性质5:如果ab,c0,则acbc;如果ab,c0,则acbc.(不等式的可乘性)a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc(可乘性)证明:因为ab,c0,所以acbc,又因为cd,b0,所以bcbd,根据不等式的传递性得acbd。几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得的不等式与原不等式同向。性质6:如果ab0,cd0,则acbd.a>b>0,c>d>0ac>bd(正数同向不等式的可乘性)性质7:如果ab0,则anbn,(n∈N+,n1).证明:因为00......0ababnab个,根据性质6,得anbn.a>b>0an>bn(n∈N*)(可乘方性)性质8:如果ab0,则,(n∈N+,n1).nnab证明:用反证法,假定,即或,nnab≤nnabnnab根据性质7和根式性质,得ab或a=b,这都与ab矛盾,因此nnab这个性质是不等式的开方法则。a>b>0>(n∈N*)nanb(可开方性)不等式的基本性质总结性质1:对称性abba性质2:传递性ab,且bc⇒ac性质3:可加性ab⇒a+cb+c推论1:移项法则ab⇔a+cb+c性质4:相加法则ab,cd⇒a+cb+d性质5:可乘性ab,且c0⇒acbcab,且c0⇒acbc性质6:相乘法则ab0,且cd0⇒acbd性质7:乘方法则ab0bann(nN,n1)性质8:开方法则ab0⇒(nN,n1)nnba例1:应用不等式的性质,证明下列不等式:(1)已知ab,ab0,求证:;11ab证明:(1)因为ab0,所以10ab又因为ab,所以11ababab即11ba因此11ab(2)已知ab,cd,求证:a-cb-d;证明:(2)因为ab,cd,所以ab,-c-d,根据性质3的推论2,得a+(-c)b+(-d),即a-cb-d.(3)已知ab0,0cd,求证:abcd证明:(3)因为0cd,根据(1)的结论得110cd又因为ab0,所以11abcd即abcd例2.已知ab,不等式:(1)a2b2;(2);(3)成立的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)311ab11abaA例3.设A=1+2x4,B=2x3+x2,x∈R,则A,B的大小关系是。A≥B例4.(1)如果30x36,2y6,求x-2y及的取值范围。xy18x-2y32,518xy例5.若,求的取值范围。22≤≤,22,022222≤4(1)1,1(2)5ff)3(f例6求:的取值范围.已知:函数,)(2caxxf解:因为f(x)=ax2-c,所以(1)(2)4facfac解之得1[(2)(1)]314(2)(1)33affcff所以f(3)=9a-c=85(2)(1)33ff4(1)1,1(2)5ff因为所以8840(2)333f≤≤5520(1)333f≤≤两式相加得-1≤f(3)≤20.练习1.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围。解(待定系数法)设9a-b=m(a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a-(m+n)b,令m+4n=9,-(m+n)=-1,解得,58,33mn所以9a-b=(a-b)+(4a-b)5383由-4≤a-b≤-1,得5520()333ab≤≤由-1≤4a-b≤5,得8840(4)333ab≤≤以上两式相加得-1≤9a-b≤20.
本文标题:数学:3.1.2《不等式的性质》课件(新人教A版必修5)
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