【创新方案】2014届高考数学一轮复习 2.3函数的单调性与最值讲解与练习 理 新人教A版

1第三节函数的单调性与最值[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.1.函数的单调性，是高考考查的重中之重，主要考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函数值域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题．2.函数的最值问题是每年高考的必考内容，一般情况下，不会对最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合在一起考查，主要考查求最值的基本方法.[归纳·知识整合]1．函数的单调性(1)单调函数的定义：增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2.当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D2具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．[探究]1.函数y＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，这种表示法对吗？提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间上单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间上不可能单调递增．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值[探究]3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征？提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f(x)＝2x－1，x∈[2,6]，则下列说法正确的有()①函数f(x)为减函数；②函数f(x)为增函数；③函数f(x)的最大值为2；④函数f(x)的最小值为25.A．①③B．①③④C．②③④D．②④解析：选B易知函数f(x)＝2x－1在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)min＝f(6)＝25，f(x)max＝f(2)＝2.2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．k12B．k12C．k－12D．k－12解析：选D使y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k＋10，即k－12.33．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f1xf(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C∵函数f(x)为R上的减函数，且f1xf(1)，∴1x1，即|x|1且|x|≠0.∴x∈(－1,0)∪(0,1)．4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调递增区间为________；f(x)max＝________.解析：∵函数f(x)＝x2－2x的对称轴为x＝1.∴函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调递增区间为[1,4]，单调递减区间为[－2,1)．又f(－2)＝4＋4＝8，f(4)＝16－8＝8.∴f(x)max＝8.答案：[1,4]85．(教材习题改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为x＝k8，又函数f(x)在[5,20]上为增函数，∴k8≤5，即k≤40.答案：(－∞，40]函数单调性的判断或证明[例1]已知函数f(x)＝x2＋1－ax，其中a0.(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．[自主解答](1)由2f(1)＝f(－1)，4可得22－2a＝2＋a，得a＝23.(2)证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋1－ax1－x22＋1＋ax2＝x21＋1－x22＋1－a(x1－x2)＝x21－x22x21＋1＋x22＋1－a(x1－x2)＝(x1－x2)x1＋x2x21＋1＋x22＋1－a.∵0≤x1x21＋1，0x2x22＋1，∴0x1＋x2x21＋1＋x22＋11.又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．———————————————————判断或证明函数的单调性的两种方法(1)利用定义的基本步骤是：取值⇨作差商变形⇨确定符号⇨得出结论(2)利用导数的基本步骤是：求导函数⇨确定符号⇨得出结论1．讨论函数f(x)＝axx2－1(a0)的单调性．解：由x2－1≠0，得x≠±1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)．①当x∈(－1,1)时，设－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2x21－x22－＝ax2－x1x1x2＋x21－x22－.∵－1x1x21，∴x2－x10，x1x2＋10，(x21－1)(x22－1)0.又a0，∴f(x1)－f(x2)0，函数f(x)在(－1,1)上为减函数．5②设1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax2－x1x1x2＋x21－x22－，∵1x1x2，∴x21－10，x22－10，x2－x10，x1x2＋10.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数．又函数f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，－1)上是减函数.求函数的单调区间[例2]求下列函数的单调区间．(1)y＝－x2＋2|x|＋3；(2)y＝log2(x2－1)．[自主解答](1)依题意，可得当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．(2)∵y＝log2(x2－1)，∴该函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．又∵y＝log2(x2－1)可看作由y＝log2μ和μ＝x2－1两个函数复合而成的，且y＝log2μ在μ∈(0，＋∞)上为增函数，而μ＝x2－1在(－∞，－1)上为减函数且μ0，在(1，＋∞)上为增函数且μ0.∴当x∈(－∞，－1)时，y＝log2(x2－1)为减函数，当x∈(1，＋∞)时，y＝log2(x2－1)为增函数．———————————————————1．求函数单调区间应注意的问题函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的6定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行．2．求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．2．求函数y＝x2＋x－6的单调区间．解：令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞).由函数的单调性求参数的值(或范围)[例3]已知函数f(x)＝x2＋ax(a0)在(2，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围．[自主解答]在区间(2，＋∞)上任取x1，x2，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22＋ax2＝x1＋ax1－x2＋ax2＝(x1－x2)＋ax1－ax2＝(x1－x2)＋ax2－x1x1x2，∵f(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴(x1－x2)＋ax2－x1x1x20.又x1x2，即x1－x20，∴ax1x21，即ax1x2.∵x1，x2∈(2，＋∞)，且x1x2，∴x1·x24.∴a≤4，又a0，7∴a的取值范围为(0,4]．若将“f(x)＝x2＋ax(a0)”改为“f(x)＝x－5x－a－2”，如何求解？解：f(x)＝x－5x－a－2＝1＋a－3x－a＋.∵f(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴3022aa，，解得30aa，，即a≤0.故实数a的取值范围为－∞，0].———————————————————利用函数的单调性求参数的方法及注意点利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．3．已知f(x)＝xx－a(x≠a)，若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解：任设1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a.∵a0，x2－x10，∴要使f(x1)－f(x2)0，只需(x1－a)(x2－a)0恒成立．∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．函数的最值与应用[例4](2013·昆明模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围．8[自主解答](1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝72.(2)f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)．①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f(1)＝a＋3.要使f(x)0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋30，即a－3，所以－3a≤0.②当0a≤1时，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝a＋3.所以a＋30，a－3.所以0a≤1.③当a1时，f(x)在[1，a]上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f(a)＝2a＋2，2a＋20，显然成立．综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3，＋∞)．———————————————————1.求函数最值的常用方法单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.2.恒成立问题的解法mfx恒成立⇔mfxmax；mfx恒成立⇔mfxmin.4．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈32，＋∞，fxm－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，求实数m的取值范围．解：由题意知，x2m