2014届高三数学一轮复习专讲：2.5函数的图象

一、利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．二、利用基本函数的图象作图1．平移变换(1)水平平移：y＝f(x±a)(a0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移单位而得到．2．对称变换(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于对称．(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于对称．左右a个上下b个y轴x轴(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于对称．(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于的对称性，作出x＜0时的图象．x轴原点y轴3．伸缩变换(1)y＝Af(x)(A0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为，横坐标不变而得到．(2)y＝f(ax)(a0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为，纵坐标不变而得到．原来的A倍原来的1a倍[小题能否全取]1．函数y＝x|x|的图像大致是()答案：A解析：函数y＝x|x|为奇函数，图像关于原点对称．2．(2011·陕西高考)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根解析：如图所示，由图像可得两函数图像有两个交点，故方程有且仅有两个根．答案：C3．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图像可能是()答案：B解析：因|f(－1)|＝32，|f(0)|＝1，|f(1)|＝0，可排除A、C、D.4．(教材习题改编)为了得到函数y＝2x－3的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点向______平移______个单位长度．答案：右35．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：由题意a＝|x|＋x令y＝|x|＋x＝2x，x≥0，0，x＜0，图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解则a0.答案：(0，＋∞)1.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法．其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．[注意]对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．2．识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视．3．用图，主要是数形结合思想的应用．[例1]分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.[自主解答](1)y＝lgx，x≥1，－lgx，0x1.图象如图1.(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)y＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x0.图象如图3.画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．1．作出下列函数的图象：(1)y＝|x－x2|；(2)y＝x＋2x－1.解：(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－x－x2，x1或x0，即y＝－x－122＋14，0≤x≤1，x－122－14，x1或x0，其图象如图1所示(实线部分)．(2)y＝x－1＋3x－1＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，再将其向右平移1个单位，并向上平移1个单位即可得到y＝x＋2x－1的图象，如图2.[例2](2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()[自主解答]法一：由y＝f(x)的图象知f(x)＝x0≤x≤1，11x≤2.当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝10≤x≤1，2－x1x≤2，故y＝－f(2－x)＝－10≤x≤1，x－21x≤2.法二：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项，可知应选B.[答案]B“看图说话”常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．(2)(2012·东城模拟)已知函数对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且当x0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为()2.(1)如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f1f3的值等于_______．解析：(1)∵由图象知f(3)＝1，∴1f3＝1.∴f1f3＝f(1)＝2.答案：(1)2(2)D(2)∵对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，∴f(x)是奇函数．f(0)＝0，y＝f(x)的图象关于原点对称，当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－ln(－x＋1)＝－ln(1－x)，由图象知符合上述条件的图象为D.[例3](2011·新课标全国卷)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个[自主解答]根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg10|＝1；0x10时，|lgx|1；x10时|lgx|1.结合图象知y＝f(x)与y＝|lgx|的图象交点共有10个．[答案]A若本例中y＝|lgx|变为y＝lg|x|，其他条件不变，则交点个数为________．解析：当x0时，y＝lgx，与y＝f(x)有9个交点，根据两函数图像的对称性，可得交点个数为18.答案：181．利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系．2．利用函数的图像研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图像来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图像与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图像的交点的横坐标．3．(2012·唐山模拟)形如y＝b|x|－a(a0，b0)的函数，因其图像类似于汉字中的“囧”字．故我们把它称为“囧函数”．若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|图像的交点个数为n，则n＝________.解析：由题易知，当a＝1，b＝1时，y＝1|x|－1＝1x－1x≥0且x≠1，－1x＋1x0且x≠－1，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图像如图所示，易知它们有4个交点．[答案]4[典例](2012·天津高考)已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．[解析]因为函数y＝|x2－1|x－1＝x＋1，x≤－1或x1，－x－1，－1x1，所以函数y＝kx－2的图象恒过点(0，－2)，根据图象易知，两个函数图象有两个交点时，0k1或1k4.[答案](0,1)∪(1,4)[题后悟道]所谓数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．解答本题利用了数形结合思想，本题首先作出y＝|x2－1|x－1的图象，然后利用图象直观确定直线y＝kx－2的位置．作图时应注意不包括B、C两点，而函数y＝kx－2的图象恒过定点A(0，－2)，直线绕A点可以转动，直线过B、C两点是关键点．针对训练(2013·长春第二次调研)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知图①是函数y＝f(x)的图像，则图②中的图像对应的函数可能是()解题训练要高效见“课时跟踪检测（八）”A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)解析：∵图②中的图像是在图①图像的基础上，去掉函数y＝f(x)图像y轴右侧的部分，保留y轴上及y轴左侧的部分，然后作关于y轴对称的图像得来的．∴图②中的图像对应的函数可能是y＝f(－|x|)．答案：C2．设D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为()解析：如图平面区域D为阴影部分，当t＝－1时，S＝0，排除D；当t＝－12时，S14Smax，排除A、B.答案：C3．(2012·天津河西模拟)设方程3x＝|lg(－x)|的两个根为x1，x2，则()A．x1x20B．x1x2＝1C．x1x21D．0x1x21解析：函数y＝3x与函数y＝|lg(－x)|的图像如图所示，由图示可设x1－1x20，则03x13x21，3x1＝lg－x1，3x2＝－lg－x2，可得3x1－3x2＝lg(－x1)＋lg(－x2)＝lgx1x2，∵3x1－3x20，∴0x1x21.答案：D4．(2012·长春模拟)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．解析：如图，作出y＝x2－|x|＋a的图像，若要使y＝1与其有4个交点，则需满足a－141a，解得1a54.答案：1，545．(2012·深圳模拟)已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0x1x21的任意x1、x2，给出下列结论：①f(x2)－f(x1)x2－x1；②x2f(x1)x1f(x2)；③fx1＋fx22fx1＋x22.其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)解析：①错误，①即为fx2－fx1x2－x11，在(0,1)上不恒成立；由题图知，0x1x21时，fx1x1fx2x2，②正确；图象是上凸的，③正确．答案：②③6．已知函数f(x)的图像与函数h(x)＝x＋1x＋2的图像关于点A(0,1)对称．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax，g(x)在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．解：(1)设f(x)图像上任一点坐标为(x，y)，∵点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图像上，∴2－