学年高中数学定积分的概念课件新人教版选修

•1．5.3定积分的概念•通过求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程，了解定积分的背景，借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定义求简单的定积分．•本节重点：定积分的定义与性质．•本节难点：定积分定义的理解．•1．定积分定义中①关于区间[a，b]的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以，采用等分的方式是为了便于作和．•②关于ξi的取法也是任意的，实际在用定积分的定义计算定积分时为了方便，常把ξi都取为每个小区间的左(或右)端点．•2．定积分的几何意义即由直线x＝a，x＝b，x轴和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积．从定积分的几何意义不难理解定的积分性质，即曲边梯形面积的和与差．3．当f(x)在区间[a，b]上f(x)0时，abf(x)dx表示的含义是什么？当f(x)在区间[a，b]上值小于零时，abf(x)dx表示由y＝f(x)，x＝a，x＝b，y＝0所围成的图形的面积的相反数．•1．定积分的概念•定积分的性质①②称为定积分的线性性质．•定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性，这个性质表明：求f(x)在区间[a，b]上的定积分，可以通过f(x)在区间[a，c]与[c，b]上的定积分去实现．[例1]求01x3dx.[分析]这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定义中包含的几个步骤来求01x3dx.[解析](1)分割[0,1]：0＜1n＜2n＜…＜n－1n＜nn＝1.(2)近似代替：作和1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.＝i＝1nin3·1n.(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)(3)取极限：i＝1nin3·1n＝1n4i＝1ni3＝1n4n(n＋1)22＝141＋2n＋1n2，∴01x3dx＝limn→∞141＋2n＋1n2＝14.(此处用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝n(n＋1)22)•[点评]求定积分的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和．体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积．因此01x3dx＝14.利用定积分的定义求ab2dx的值．[解析]令f(x)＝2.(1)分割：在区间[a，b]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[a，b]等分成n个小区间a＋(b－a)(i－1)n，a＋(b－a)in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为b－an.(2)近似代替、作和：取ξi＝a＋(b－a)in(i＝1,2，…，n)，则Sn＝i＝1nfa＋(b－a)in·b－an＝i＝1n2(b－a)n＝2(b－a)．(3)取极限：ab2dx＝limn→∞Sn＝limn→∞2(b－a)＝2(b－a).•[分析]由于所给定积分为曲线y＝x3＋3x与x＝－1，x＝1及y＝0围成的曲边梯形面积，故由定义可求，但注意被积函数及积分上、下限特点可采用几何意义解决．•[解析]∵y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与在x轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知(x3＋3x)dx＝0.dxxx)3(2113例•[点评]当曲边梯形在x轴下方时，积分值为负，在x轴上方时，积分值为正，故定积分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与x轴所围成图形的面积的代数和．•[解析](1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴(3x＋1)dx＝12×3＋13×(3×3＋1)－12－13＋1·2＝503－23＝16.•[分析]由题目可获取以下主要信息：•①被积函数形式上较为复杂；②积分的上、下限明确；•解答本题可先根据积分的几何意义求出相关函数的定积分，再根据定积分的性质进行加减运算．•[解析](1)如图，[点评]求定积分时应注意利用定积分的性质及几何意义．(1)定积分的性质的推广①ab[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx±…±abfn(x)dx；②abf(x)dx＝f(x)dx＋c1c2f(x)dx＋…＋f(x)dx(其中n∈N＋)．(2)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a－af(x)dx＝0.②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a－ag(x)dx＝20ag(x)dx.画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积．(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5.(2)y＝log12x，y＝0，x＝12，x＝3.[解析](1)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S，则S＝25|sinx|dx或S＝2πsinxdx＋π5(－sinx)dx＝2πsinxdx－5πsinxdx.•一、选择题•1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为()•A．[0，e2]B．[0,2]•C．[1,2]D．[0,1]•[答案]B[解析]解方程组y＝exy＝1，y＝exx＝2可得x＝0y＝1，x＝2y＝e2所以积分区间为[0,2]，故应选B.•2．下列式子中不成立的是()•[答案]CA．∫2π＋aasinxdx＝∫2π＋bbcosxdxB．sinxdx＝cosxdxC.0πsinxdx＝0πcosxdxD.0π|sinx|dx＝0π|cosx|dx[解析]由定积分的几何意义知0πsinxdx0，0πcosxdx＝0，所以C不成立，故应选C.•[答案]C•[解析]由积分的几何意义可知选C.3．下列值等于1的是()A.01xdxB.01(x＋1)dxC.011dxD.0112dx二、填空题4．由正切曲线y＝tanx，直线x＝0和x＝π4，x轴所围成的平面区域的面积用积分表示为________．[答案]tanxdx[解析]由定积分的几何意义可知应表示为∫π40tanxdx.5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：(1)01xdx________01x2dx(图1)；(2)01xdx________12xdx(图2)；(3)024－x2dx________022dx(图3)．•[答案](1)(2)(3)•[解析]根据定积分的几何意义，结合图形可得大小关系．三、解答题6．利用定积分的几何意义说明下列等式成立．