3.2直线的方程

直线的点斜式方程3.2.1在平面直角坐标系内，如果给定一条直线经过的一个点和斜率，能否将直线上所有的点的坐标满足的关系表示出来呢？000,yxPlkyx,问题引入xyOlP0，00xxyyk00xxkyy直线经过点，且斜率为，设点是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得：000,yxPkyxP,0Plk即：问题引入xyOlP0P00xxkyy方程由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.直线的点斜式方程xyOlP0kl的斜率为直线1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2)D．y＝3(x＋2)【答案】Dx00yy0yy，或xyOl0Pl的方程就是（1）轴所在直线的方程是什么？当直线的倾斜角为时，即．这时直线与轴平行或重合，ll000tanx000tanl000tanxl000tan000tanl000tanxl000tan故轴所在直线的方程是:x0y（2）轴所在直线的方程是什么？y00xx0xx，或当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，这时,直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．这时，直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程就是ll90ly0xxyOl0P故轴所在直线的方程是：y0x2.已知直线l的方程是y＋2＝－3(x－1)，则()A．直线l经过点(－1,2)，斜率为－3B．直线l经过点(－1，－2)，斜率为3C．直线l经过点(1，－2)，斜率为－3D．直线l经过点(－2，－1)，斜率为3【答案】C例1直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线．45l3,20Pll代入点斜式方程得：.23xy4,111yx画图时，只需再找出直线上的另一点，例如取，得的坐标为，过的直线即为所求，如图示．l111,yxP1P4,110PP，解：直线经过点，斜率，l145tank3,20Py1234xO-1-2l1P0P写出下列直线的点斜式方程；（1）经过点A（3，-1），斜率是；（2）经过点B（-，2），倾斜角是30°；（3）经过点C（0，3），倾斜角是0°；（4）经过点D（4，-2），倾斜角是120°；2212(3)yx3223yx30y234yx答案（5）斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7；y=2(x+7)(6）经过点（2，5），倾斜角为900X-2=0如果直线的斜率为，且与轴的交点为得直线的点斜式方程，lyk0xkbyb,0也就是：bkxyxyOl0Pb我们把直线与轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距。y该方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.y直线的斜截式方程例3．写出下列直线的方程：(2)倾斜角是135°，在y轴上的截距是3．(1)斜率为，在y轴上的截距是-2．23223xy3xy（3）斜率为3，与y轴交点的纵坐标为-1；y=3x-1x-3=0y-1=0（4）过点（3，1），垂直于x轴；垂直于y轴；上一页3．已知直线l的方程为y＝94x－9，则l在y轴上的截距为()A．9B．－9C．－4D．－49【答案】B4．斜率与直线y＝32x的斜率相等，且过点(－4,3)的直线的点斜式方程是________．【答案】y－3＝32(x＋4)5．已知直线l的斜率为－3，在y轴上的截距为－2，则直线l的斜截式方程为________．【答案】y＝－3x－2（1）直线的点斜式方程：（2）直线的斜截式方程:00xxkyybkxyxyOlP0kl的斜率为直线知识小结xyOl0Pbkl的斜率为直线1.直线的点斜式方程：2.直线的斜截式方程:00xxkyybkxy小结000yyyy或000xxxx或①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°3.特殊情况3.2.2直线的两点式方程思考1已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），如何求直线l的方程.解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）55223lk将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得y－(－5)=－2(x－3).已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，(x1x2,y1y2),如何求出这两个点的直线方程呢？经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程.可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程.两点式方程xylP2(x2，y2)2121yykxx211121()yyyyxxxx两点式P1(x1，y1)112121yyxxyyxx00()yykxx代入得斜率根据两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.直线的两点式方程经过直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2,y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式.1112122121(,)yyxxxxyyyyxx1.过点P1(－2,0)，P2(1,3)的直线方程是()A．y＝－x＋1B．y＝－3x－6C．y＝x＋2D．y＝－x－2【解析】利用直线的两点式方程得y－03－0＝x＋21＋2，∴y＝x＋2.【答案】C当x1=x2时,直线l的方程是;当y1=y2时,直线l的方程是.x=x1y=y1特别地练习：求过下列两点的直线的两点式方程：;0,5,5,02;3,0,1,212121PPPP;555y050505y2;2241y202131y1xxxx，即，即截距式方程aaxby000xylA(a，0)截距式B(0，b)解：代入两点式方程得化简得1xyab横截距纵截距例1.已知直线经过点A（a，0），B（0，b），a0，b0，求直线方程中点坐标公式已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？xyA(x1，y1)B(x2，y2)中点121222xxxyyyP0的坐标为1212,22xxyy例2已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.ABxyoCM303231.2222BCMM设的中点为,则的坐标为（，），即（，）3105(5,0),,132205221350.yxAMxyBC过（，）的直线方程为整理得这就是边上的中线所在的直线的方程.解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：2032305360.yxxy这就是BC边所在直线的方程.直线方程名称直线方程形式适用范围点斜式斜截式两点式截距式)(00xxkyy121121xxxxyyyy1byax不垂直x轴不垂直x轴不垂直两个坐标轴不垂直两个坐标轴且不经过原点bkxy各类方程的适用范围3.2.3直线的一般式方程温故知新复习回顾①指明直线方程几种形式的应用范围.点斜式y－y1=k（x－x1）斜截式y=kx+b两点式),(2121121121yyxxxxxxyyyy截距式0,1babyax有斜率的直线有斜率的直线不垂直于x,y轴的直线不垂直于x,y轴的直线不过原点的直线过点与x轴垂直的直线可表示成，）（00,yx过点与y轴垂直的直线可表示成。）（00,yx0xx0yy填空:1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是____________2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是___________3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是_________y-1=2(x-2)y=1x=2思考：以上方程是否都可以用表示?0CByAx1.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？2.每一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？讨论1.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于X，y的二元一次方程2.经过点P（x0,y0)且斜率不存在的直线的方程：x-x0=0可以看成y的系数为0的二元一次方程.3.对于二元一次方程Ax+By+C=0（A,B不全为零）BCxBAy1）当B0时可化为表示经过点（0，），斜率k为的直线.BABC2)当B=0时，A0，方程可化为ACx表示垂直于x轴的直线.直线的一般式方程（其中A，B不同时为0）0AxByC1.所有的直线都可以用二元一次方程表示2.所有二元一次方程都表示直线此方程叫做直线的一般式方程例1已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.43注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：1、一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；2、x项的系数为正；3、x，y的系数和常数项一般不出现分数；4、无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。例2把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.练习：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－12，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P1(3，－2)、P2(5，－4)．解(1)由点斜式得y－(－2)＝－12(x－8)，化成一般式得x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，化成一般式得y－2＝0.(3)由截距式得x32＋y－3＝1，化成一般式得2x－y－3＝0.(4)由两点式得y＋2－4－－2＝x－35－3，化成一般式得x＋y－1＝0.两条直线平行和垂直的条件212121CCBBAA1111:0lAxByC2222:0lAxByC11112222//ABCllABC1212120llAABB平行垂直重合小结0AxByC点斜式00()yykxx斜率和一点坐标斜截式ykxb斜率k和截距b两点坐标两点式点斜式两个截距截距式1xyab112121yyxxyyxx00()yykxx一般式小结1.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式.反之不一定.2.特殊的直线方程如x+2=0,2y-3=0.有时不存在点斜式或斜截式、两点式、截距式.3.根据一般方程也能很快判断两条直线的位置关系.4.一般不特别指明时直线方程的结果都要化成一般式.