矩形、菱形与正方形.

第四章基本图形(一)第20讲矩形、菱形与正方形(学P72)第二篇图形与几何1．矩形性质和判定(1)性质①对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴；矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点；②矩形的四个角都是角；③矩形的对角线互相平分并且．直相等(2)判定①有三个角是的四边形；②是平行四边形且有一个角是；③的平行四边形；④的四边形．2．菱形性质和判定(1)性质①菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴；菱形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点；②菱形的四条边都；③对角线，且每一条对角线．互相垂直平分相等平分一组对角对角线相等且互相平分对角线相等直角直角(2)判定①四条边都的四边形；②有一组的平行四边形；③对角线的平行四边形；④对角线的四边形．3．正方形(1)性质①正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点；②正方形的四个角都是，四条边都；③两条对角线，并且．每一条对角线．相等邻边相等互相垂直互相垂直平分直角相等相等互相垂直平分平分一组对角(2)判定①邻边相等的；②有一角是直角的．4．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系矩形菱形正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)．1．(2013·德州)下列命题中，真命题是()A．对角线相等的四边形是等腰梯形B．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．四个角相等的四边形是矩形2．(2013·凉山州)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()A．14B．15C．16D．17DC3．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是()CA．24B．16C．4D．21334．(2013·台湾)如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连结BG.根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系为()A．∠1＜∠2B．∠1＞∠2C．∠3＜∠4D．∠3＞∠4D5．(2013·遵义)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝cm.9(学P73)【问题】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题，回答下列问题：(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中：21(2)要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的________相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一角是________．(3)如图菱形ABCD，某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S＝a2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例来说明．【解析】(1)根据在平行四边形中，邻边相等的是菱形，邻边垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，可根据此关系来画图．如图(2)根据正方形的判定方法进行解答即可．即两种常见的方法：①一组邻边相等的矩形是正方形．②一个角是直角的菱形是正方形．∴填：一组邻边，直角．(3)本题的证明方法有多种，可根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，将正方形分成两个直角三角形的面积和来求证，也可通过对角线求出正方形的边长来求证．∴结论正确．证明：S正方形ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4××a×a＝a2.【归纳】复习平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，以及性质与判定．21212121类型一矩形的性质与判定例1(2013·铜山)如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)求证：△ABE≌△FCE；(2)连结AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．【思路分析】(1)利用AAS可得出三角形ABE与三角形FCE全等；(2)利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出四边形ABFC为矩形．【答案】证明：(1)∵E是BC中点，∴BE＝CE.∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE.在△ABE与△FCE中，∴△ABE≌△FCE(AAS)．(2)∵∠AEC＝∠ABE＋∠BAE，又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE.由(1)△ABE≌△FCE，得AE＝EF.∴CE＝FE，∴AE＝EF＝BE＝CE，则AF＝BC，∠BAE＝∠CFE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE【解后感悟】矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，同时也具有特殊的性质；同时，判定矩形的方法也是多样的，可以先判定这个四边形是平行四边形，然后判断是矩形．故四边形ABFC为矩形(对角线相等且平分的四边形是矩形)．1．(2013·聊城)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝CE.【答案】略．类型二菱形的性质与判定例2(2013·黄冈)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连结OH，求证：∠DHO＝∠DCO.【思路分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD＝OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝OB，然后根据等边对等角求出∠OHB＝∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH＝∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∵DH⊥AB，∴OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.【解后感悟】本题是菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．(学P74)2．(2013·安顺)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连结CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．【答案】(1)略；(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2＝8.333类型三正方形的性质与判定例3如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连结DF、AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.【思路分析】根据DE＝CF，可得出OE＝OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即可得出结论．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OF＝OE，在Rt△AOE和Rt△DOF中，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF.【解后感悟】正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形的判定方法有两条道路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．AO＝DO，∠AOD＝∠DOF，OE＝OF，【答案】(1)只要证明△BEF≌△DGF(SAS)，∴BF＝DF；(2)∵BF＝DF∴点F在对角线AC上∵AD∥EF∥BC∴BE∶CF＝AE∶AF＝AE∶AE＝∴BE∶CF＝.3．(2014·济宁)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连结BF、DF.(1)求证：BF＝DF；(2)连结CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程)．22222类型四特殊平行四边形的综合运用例4(2014·威海)猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AF，若M为AF的中点，连结DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为________．(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．【思路分析】猜想：延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM＝EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明．(1)延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM＝EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明；(2)连结AE，AE和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明．【答案】猜想：DM＝ME证明：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM＝∠HAM，又∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH(ASA)∴HM＝EM，在Rt△HDE中，HM＝EM，∴DM＝HM＝ME，∴DM＝ME.∠EFM＝∠HAM，FM＝AM，∠FME＝∠AMH，(1)如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是正方形，∴AD∥EF，∴∠EFM＝∠HAM，又∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH(ASA)∴HM＝EM，在Rt△HDE中，HM＝EM，∴DM＝HM＝ME，∴DM＝ME，故答案为：DM＝ME.∠EFM＝∠HAM，FM＝AM，∠FME＝∠AMH，(2)如图2，连结AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE＝45°，∠FCA＝45°，∴AE和EC在同一条直线上，在Rt△ADF中，AM＝MF，∴DM＝AM＝MF，在Rt△AEF中，AM＝MF，∴AM＝MF＝ME，∴DM＝ME.【解后感悟】本题是四边形的综合题，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段．(1)连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；(2)填空：①当t为s时，四边形ACFE是菱形；②当t为s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是直角梯形．4．(2013·河南)如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．623【答案】(1)证明：∵AG∥BC∴∠EAD＝∠ACB∵D是AC边的中点∴AD＝CD又∵∠ADE＝∠CDF∴△ADE≌△CDF(2)①∵当四边形ACFE是菱形时，∴AE＝AC＝CF＝EF由题意可知：AE＝t，CF＝2t－6，∴t＝6②若四边形ACFE是直角梯形，此时EF⊥AG过C作CM⊥AG于M，AM＝3，可以得到AE－CF＝AM，即t－(2t－6)＝3，∴t＝3，此时，C与F重合，不符合题意，舍去．若四边形AFCE是直角梯形，此时AF⊥BC，∵△ABC是等边三角形，F是BC中点，∴2t＝3，得到t＝经检验，符合题意．23(学P75)【课本改变题】教材母题——浙教版八下第147页，作业题第5题【试题】(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FO