求函数定义域和值域方法和典型题归纳

1一求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f）,②集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x∈A}。3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。（1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x∈A}。（2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0底数1;底数1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（2()log(1)xfxx）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形2如：2()xfxx)2.抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；（2）在同一个题中x不是同一个x；（3）只要对应关系f不变，括号的取值范围不变。（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域。解：∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；（及其中x的取值范围是[-1,1]）∴012x；（x+1的取值范围就是括号的取值范围）∴f(x)的定义域为[0,2]；（f不变，括号的取值范围不变）∴f(2x-1)中0212x∴1322x∴f(2x-1)的定义域为13|22xx3.复合函数定义域复合函数形如：(())yfgx,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例2：()(2,3),()(1)(2),fxgxfxfx若函数的定义域为求g(x)的定义域。分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。解：由f(x)的定义域为（-2,3），则f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为（0,4）；3204xx，解得0x2所以，g(x)的定义域为（0,2）.3（二）求定义域的典型题1.已知函数解析式（1）求下列函数的定义域20111(1)()4;(2)()(1);(3)();3123xfxxfxxfxxxx222(23)11(4)()(1);(5)()log();(6)()1.42xxfxxfxxfxxx（2）求下列函数的定义域212lg(2)12(1)();(2)();11211(3)();(4)()1log6xxfxfxxxxfxfxxxx(3)与函数定义域有关的问题题①若函数224()(21)xfxxmxm的定义域为R，求实数m的取值范围。②函数226ykxkxk的定义域为R，求k的取值范围。③函数2()68fxmxmxm的定义域为R，求m的取值范围。2.求抽象数定义域①若函数f(x)的定义域为（-2,6），求1(1)2fx的定义域。②若数()fx的定义域为[0,2],求函数(2)()1fxgxx的定义域。③若数(1)fx的定义域为[-1,2],求函数1()(2)37gxfxx的定义域。④若函数()fx的定义域为[0,1],1()()(),()2gxfxafxaa，求函数g(x)的定义域。4⑤若()log(1),()log(1)aafxxgxx，(0,1)aa且，令F（x）=f(x)-g(x),求F（x）的定义域。二、求函数值域（一）求函数值域方法和情形总结1.直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；（2）a不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。例1：求2()46fxxx在[1,5]上的值域.解：配方：2()(2)2fxxf(x)的对称轴为x=2在[1,5]中间min(2)2yf（端点5离x=2距离较远，此时为最大值）max(5)11yf所以，f(x)的值域为[2,11].3.分式型（1）分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为dyabxc。例2：51()42xfxx求的值域.解：510(42)1515744()424242(42)xxfxxxx5由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到54，即：函数f(x)的值域为5{|}4yy.跟跟踪踪练练习习：：已知2()4(1)3(0,2)fxaxaxx在x=2处有最大值，求a的取值范围.1,2（2）利用20x来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现2x形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。例3：求函数2231()2xfxx的值域.解：由于22x不等于0，可将原式化为22231yxyx即2(3)12yxy（由于20x）只需3y,则有21203yxy(3)y(12)0y所以，函数值域1,32y.（3）方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量x又出现2x混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。例4：求函数221xyx的值域6解：由于函数的定义域为R，即210x原式可化为220yxxy（由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）所以，2440y所以，函数值域为1,1y跟跟踪踪练练习习：：求下列函数值域（1）11yx（2）2211xyx（3）211yx22(4)36xyxx（5）若2328log1mxxnyx的定义域为R，值域为0,2，求常数m,n的值（m=n=5）4.换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例5：求函数()21fxxx的值域解：令21,0,1txtxt则，带入原函数解析式中得2221152(1)222()48yttttt因为，0t所以，函数的值域为15,8y.跟跟踪踪练练习习：：求下列函数的域（1）22sin3cos1yxx（2）211yxx7（3）sincossincosyxxxx，（令t=sincosxx）(4)249,(=3cos(0,))yxxx令