电磁学第一章习题课

解：两等量异号的点电荷+q和-q，相隔一定距离1。当考察点离得比较远时，这两个电荷组成的电荷系的特性可以用特征量：第一章习题课来表示，这样的点电荷系称为电偶极子，l称为电偶极子的臂，其方向由负电荷指向正电荷，P称为电偶极矩，简称电矩。（1）考察点P在电偶极子的臂的延长线上，如下图所示。正、负电荷单独在P点产生的电场的场强分别为：p＝ql例1研究电偶极子的电场电偶极子轴上一点的电场20)2(41lrqE20)2(41lrqE2020)2(41)2(41lrqlrqEEE)1()21()2(2222rlrrlrlrr为P点到正、负电荷连线中点的距离。P点的总场强为：因考察点P到电偶极子的距离r＞＞l，故有：302rpE引用电偶极子的电矩P，注意到场强与电矩的方向，可得：220)2(41lrqEE电偶极子臂的中垂线上的电场(2)考察点P在电偶极子臂的中垂线上，如下图所示。正、负电荷单独在P点产生的电场的场强分别为：P点的总场强：cos2EE22)2(2coslrl而：因r＞＞l，并注意到电矩和场强的方向，可得：304rpE（3）考察点在场中任意一点。设考察点P的位置由极坐标r和θ给出，如图(c)所示。把电偶极子的电矩p分解成平行于r的分量P∥和垂直于r的分量P┴，P∥=pcosθP┴=psinθ于是P点的场强可以看作由电矩为P∥的电偶极子和电矩为P┴的电偶极子的场强叠加而成。P∥产生的场强也就是P点的场强在er方向的分量，P┴产生的场强也就是P点的场强在eθ方向的分量，即：302cosrpEr304sinrpE电偶极子周围任一点的是电场(常量）据题意作图，在圆环上取线元，其带电量为：dlRqdldq2例2求均匀带电圆环轴线上的电场。解：设圆环半径为R，电量为q，电荷分布为线分布，电荷线密度为：Rq2其在P点产生的场强为：204rdqdE3020//44cosrxdlrxrdqdEdE与OX轴垂直的场强分量为：sindEdE方向如图。各电荷元在P点产生的场强方向不同，建立OX坐标，沿OX轴方向的场强分量为：由于对称性，有：0sindEE所以有：2322030203030//)(42444RxxqrRxdlrxrxdlEER方向沿OX轴正向。RxxRx2122)(204xqE3）场强出现极大值的位置：0dxdE0]2))(23()[(4252223220xRxxRxq2）若x=0，则E=0，即环心处场强为零。我们通过分析也能得出这个结果；——与点电荷的场强相同；有:则1）若讨论：03222xRxRx22此处，据此可作出曲线如图。20max36RqExE~除了OX轴上各点外，带电圆环其他地方的场强计算相当复杂，将涉及椭圆积分，这里不作讨论。解：设球面半径为r，电荷面密度为σ。取一球面坐标，原点与球面中心重合，如图所示。球坐标中的面元dS可以看作是边长为rdθ和rsinθdФ的矩形，其面积为：2041rdSdE例3求均匀带电半球面在球心的电场。ds＝r2sinθdθdФ面元上的电荷在O点的场强为：对Ф积分，便得一条球带的电荷在O点产生的电场。这球带的位置在θ和θ+dθ之间，对θ积分便得所有球带在O点产生的电场：dddEdEzcossin41cos0当σ为正时，dE的方向由dS指向球心。由于对称性，只有dE沿Z轴的分量dEz才对O点的合电场有贡献。0202004cossin4ddE如果在Oxy平面下面还有一相同的半球面，它在O点产生的场强亦为:04E负号表示E沿负Z方向。但沿正Z轴方向，因此均匀带电球壳在球心处的场强为零。解：如果已知电荷分布，则可用叠加原理通过积分法求得场强；如果已知电势分布，则可用求导法求得场强。在本题中这两种条件都不完备。但是，利用电荷分布和场强分布的对称特征及电势差与场强之间的联系，我们可以求得场强。例4两无限长的同轴圆筒，半径分别为R1与R2，均匀带有等量异号电荷。已知两圆筒的电势差为V12，求场强的分布。r0e21Er12002112ln221dlEV21RRdrrRR（R1rR2）由电势差定义：若已知圆筒的电荷分布，则根据对称性就可以直接用高斯定理求得两圆筒之间的场强。设圆筒上单位长度的电量为η，则两筒之间的场强为：得：12120ln2RRV1212lnRRrVrE021于是两圆筒之间的场强：而两筒外：E＝0例5求均匀带电球体中所挖出的球形空腔内之场。已知球体的电荷体密度为ρ，球体的球心到空腔中心的距离为a。解：将空腔看作腔内同时填满了体密度为+ρ与―ρ的电荷。由高斯定理可分别求出带正电荷的整个球体与带负电荷的空腔球形带电体在腔内任一点的场强E+和E―。如图，球心到考察点的位矢为r，空腔中心O’到考察点的位矢为l，则有：30341dSErrE03lE03aEEE03同理可得：则空腔中的总场强：式中a＝r-l，故空腔中为一均匀场，方向由O指向O’。得：例6两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？分析：通常可采用两种方法（1）由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势。取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由:PdlEVP可求得电势分布。（2）利用电势叠加原理求电势。一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为：rQV04RQV04其中R是球面的半径。根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布。在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势：解1（1）由高斯定理可求得电场分布:)(4)(4)(0220212120111RrrQQRrRrQRrr3r2eEeEErldEV由电势可求得各区域的电势分布。当r≤R1时，有：当R1≤r≤R2时，有：202101202121011444)11(40211RQRQRQQRRQVRRRr2R321dlEdlEdlE2020120212012444)11(42RQrQRQQRrQVRr2R32dlEdlE当r≥R2时，有：rQQV02134r3dlE)11(42101122RRQVR1R2dlE（2）两个球面间的电势差：解2（1）由各球面电势的叠加计算电势分布。若该点位于两个球面内，则：202101144RQRQV20201244RQrQVrQQrQrQV02102013444若该点位于两个球面之外，即r≥R2，则：若该点位于两个球面之间，即R1≤r≤R2，则：（2）两个球面间的电势差：201101211244|2RQRQVVVRr例7．如图所示，有一薄金属环，其内外半径分别为R1和R2，圆环均匀带电，电荷面密度为σ（σ＞0）。（1）计算通过环心垂直于环面的轴线上一点的电势；（2）若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环，要使质子能穿过圆环，它的初速度至少应为多少？分析（1）如图所示，将薄金属环分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用细环轴线上一点的电势公式，根据电势叠加原理，将这些不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势相加，即可得到轴线上的电势分布。（2）由轴上电势分布的结果可知，在圆环中心处（X=0）电势V有极大值，当质子从无穷远处射向圆环时，电势能逐渐增加，而质子的动能随之减少。若要使质子穿过圆环，则质子在圆环中心处Ek≥0。根据能量守恒定律，可求出电子所需初速度的最小值。解（1）在环上割取半径为r、宽度为dr的带电细圆环，其所带电荷为：dq＝σdS＝σ2πrdr它在轴线上产生的电势为：2122021220)(2)(4rxrdrrxdqdU2212220212202)(221xRxRrxrdrURR0)(21020UUemV（2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的动能Ek≥0，开始时质子的初速率应满足：薄金属环的电势等于这些同心轴圆环电势的叠加：上式表明质子欲通过环心，其速率V0不能小于：)(120RRme)(1200RRmeV而：)(21200RRU）选0(U例8：两个相同的导体球带有异号电荷，相距0.5m时彼此以0.108N的力相吸，两球用一导线连接，然后将导线拿去，此后彼此以0.036N的力相斥。问两球上原来的电量各是多少？解：设两导体球带电量分别为q1、q2，由库仑定律得：108.05.042021qq两球用导线连接后，两球带相等电量，再由库仑定律得：036.05.04202q由点电荷守恒定律知：qqq221联立上三式可得：Cq621016.3Cqq6211048.93或Cq611016.3Cq621048.9例9：电量为q的点电荷位于一带电细棒的延长线上。棒长为l，电荷线密度，0为一常数，q与棒相近的一端之间的距离为a（如图所示），试求此点电荷所受的作用力。lx210解：1）求带电细棒在点电荷处激发的场强。在细棒上取一元电荷，由点电荷场强公式得:dqdx2002141xaldxlxdE20024xaldxxlllx210所以:202004xaldxxaxaldxxallEllxalxdxxaladxxalxaldl0222004alaaalalaaaaallln1ln400alaallaqll2ln2400（2）求点电荷所受的作用力，根据公式得:EqF002ˆ2ln4allqlaFilaaal例10：两个共轴均匀带电的细圆环，半径均为a，相距为b，把点电荷q从无穷远处移到各环中心所需作的功分别为A1和A2，试求两圆环上的电荷q1和q2。解：设A、B圆环所带电量分别为q1、q2，如图所示，根据圆环轴线上的电势公式:22041xRq可得到O1、O2处电势分别为:212202010201144baqaq212201020201244baqaq1o2oab1q2qa1o2oab1q2qaAB1o2oab1q2qa1o2oab1q2qaAB把电荷q从无穷远处移到O1、O2克服电场力所需作的功分别为:2122210114baqaqqqA2122120224baqaqqqA联立①、②式得各环所带的电量分别为:aAbaAbaqbaq1222222024aAbaAbaqbaq22212220141o2oab1q2qa1o2oab1q2qaAB1o2oab1q2qa1o2oab1q2qaAB例11、一边长为a的均匀带电的正方形平面，面电荷密度为，求此平面中心的电势。解：以正方形的中心Ｏ为原点，正方形平面为xy平面，正方形由x、y轴和