2017-2018学年福建省宁德市同心顺联盟高二下学期期中考试数学(理)试题-Word版

1宁德市高中同心顺联盟2017-2018学年第二学期期中检测高二数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1.若复数是纯虚数，则的值为()A.-2B.0C.2D.0或22.一物体运动时的速度v（单位：米/秒）与时间t（单位：秒）满足252vtt，那么物体在2秒时的加速度是（）米/秒2A．12B．14C．22D．243.函数xyxe的图象上一点(1,)e处的切线方程为（）A．2yexeB．22yexeC．yexD．yexe4.在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2，则它们的面积之比为1:4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为2:3，则它们的体积之比为（）A.1:8B.2:3C.4:9D.8:275.已知函数()4(2)lnfxfxx，则()fx的极大值为（）A．4ln22B．4ln44C．8ln22D．8ln446.若(2)5iz，则z()A.1B.C.D.57.若1x是函数22()(1)xfxxaxe的极值点，则()fx的极大值为（）A．1B．3eC．35eD．58.由直线0,,4yxeyx及曲线4yx所围成的封闭图形的面积为（）A．6B．24eC．224eD．29.已知函数24ln(1)fxxxax在区间1,2上有最大值，则实数a的取值范围是()2A．(1,)B．(1,)C．(1,3)D．(1,3)10.已知函数222,101,01xxfxxx，则11fxdx（）A．12B．14C．24D．2211.用数学归纳法证明：)2(2413212111nnnn时，由)2(kkn不等式成立，推证1kn时，左边增加的代数式是（）A．)1(21kB．221121kkC．11121kkD．221121kk12.已知关于x的不等式ln(1)mxmx有唯一整数解，则实数m的最小值为（）A．1ln22B．1ln33C．1ln23D．1ln32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．若2202xeaxdxe，则a=__________。14．若曲线lnyxx的一条切线的斜率为2，则切点横坐标为。15．已知复数1aizi的共轭复数在复平面内所对应的点在第三象限，则a的取值范围是。16．已知1()sincosfxxx，记21()()fxfx，32()()fxfx，…，1()()nnfxfx(*,2nNn)，则122018()().....()333fff。三、解答题：本大题共6小题，共70分。17.（10分）若,ab为正实数，请用分析法证明211abab318.（12分）已知2(1)2aiibi（,abR），其中i是虚数单位。(Ⅰ)求,ab的值；（Ⅱ）设12,zz在复平面内对应的点关于虚轴对称，1zabi，求12zz的值。19.（12分）已知a为实数，2()(4)()fxxxa。(Ⅰ)求导数()fx；（Ⅱ）若(1)0f，求()fx在[2,2]上的最大值和最小值；(Ⅲ)若()fx在[1,2]上是递减的，求a的取值范围。4[来20.（12分）数列{}na的前n项和为nS，且21nnaS（*nN）。（Ⅰ）计算出1a、2a、3a的值；（Ⅱ）猜测出数列{}na的通项公式，并用数学归纳法加以证明。21.（12分）某企业筹集了200万元资金全部投入生产甲、乙两种产品。根据市场调查与预测，甲种产品的利润与投入资金x（万元）的算术平方根成正比，比例系数为k；乙种产品的利润与投入资金成正比，比例系数为14；企业获得的总利润y（万元）为甲、乙两种产品利润之和。若该企业投资甲、乙两产品各100万元时，企业获得的总利润为55万元。5(Ⅰ)将y表示成x的函数；(Ⅱ)怎样分配这200万元资金才能使该企业获得的总利润达到最大？22.（12分）设函数lnxekfxkxxx（k为常数，2.71828e为自然对数的底数）。（I）当1k时，求函数fx的单调区间；（II）求证：存在k，使得函数2yfx在0,2内有三个零点。6宁德市高中同心顺联盟2017-2018学年第二学期期中检测高二数学（理）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1.B2.C3.A4.D5.B6.C7.D8.A9.C10.B11.D12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．1414．e15．(1,1)16．1三、解答题：本大题共6小题，共70分。17.（10分）若,ab为正实数，请用分析法证明211abab证明：要证211abab，只要证2ababab………………………………2分只要证()2ababab（由,ab为正实数）…………………………4分只要证2abab只要证20abab只要证2()0ab，显然成立，故原结论成立。…………………10分18.（12分）已知2(1)2aiibi（,abR），其中i是虚数单位。(Ⅰ)求,ab的值；（Ⅱ）设12,zz在复平面内对应的点关于虚轴对称，1zabi，求12zz的值。解:(Ⅰ)由2(1)2aiibi得22aiibi…………………………………………1分得22aibi…………………………………………………………………3分由两复数相等得:22ab………………………………………………………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知:122zi………………………………………………………6分12,zz在复平面内对应的点关于虚轴对称，222zi…………………8分2212(22)(22)(2)28zziii……………………………………12分19.（12分）已知a为实数，2()(4)()fxxxa。(Ⅰ)求导数()fx；（Ⅱ）若(1)0f，求()fx在[2,2]上的最大值和最小值；(Ⅲ)若()fx在[1,2]上是递减的，求a的取值范围。7解：（I）由原式得32()44fxxaxxa，∴2()324fxxax………………2分（II）由210)1(af得，此时有221()(4)(),()342fxxxfxxx，4()013fxxx由得或………………………………………………………5分4509(),(1),(2)0,(2)03272ffff又所以()fx在[2,2]上的最大值为29，最小值为2750…………………………8分（III）423)(2axxxf的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线，由条件得(1)0,(2)0ff，……………………………………………………10分1202840aaa即，所以a的取值范围为[2,)。……………………12分20.（12分）数列{}na的前n项和为nS，且21nnaS（*nN）。（Ⅰ）计算出1a、2a、3a的值；（Ⅱ）猜测出数列{}na的通项公式，并用数学归纳法加以证明。解：(Ⅰ)由1121aS及11Sa，有111313aa由2221aS及212Saa，得21213129aaa由3321aS及3123Saaa，得31231312227aaaa……4分（Ⅱ）由(Ⅰ)可猜测出数列{}na的通项公式为1()3nna…………………………………5分用数学归纳法证明如下：①当1n时，113a，猜想成立；…………………………………………………6分②假设当nk时，猜想成立，即1()3kka，……………………………………7分则当1nk时，由12112()3kkkkkaSSa由111111212()1312()3kkkkkkkkaSaSaaS有111()3kka，猜想成立，……………………………………………………11分综合①②可知，数列{}na的通项公式为1()3nna…………………………………12分21.（12分）某企业筹集了200万元资金全部投入生产甲、乙两种产品。根据市场调查与预8测，甲种产品的利润与投入资金x（万元）的算术平方根成正比，比例系数为k；乙种产品的利润与投入资金成正比，比例系数为14；企业获得的总利润y（万元）为甲、乙两种产品利润之和。若该企业投资甲、乙两产品各100万元时，企业获得的总利润为55万元。(Ⅰ)将y表示成x的函数；(Ⅱ)怎样分配这200万元资金才能使该企业获得的总利润达到最大？解：(Ⅰ)依题意生产甲种产品的利润为kx万元，生产乙种产品的利润为1(200)4x万元，故该企业总利润为1(200)4ykxx(万元)…………………………………2分根据题意得：当100x时55y，5510025k解得3k……………4分13504yxx（0200x）…………………………………………………6分(注:定义域不写扣1分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得316424xyxx.…………………………………………7分令0y，解得36x，易知36[0,200]…………………………………………8分,yy随x的变化情况如下表：x[0,36)36(36,200]yy极大值由表知，函数在[0,36)上单调递增，在(36,200]上单调递减，max3659xyy故该企业应投资甲产品36万元，乙产品164万元时所获得的利润最大，最大利润为59万元。…………………………12分22.（12分）设函数lnxekfxkxxx（k为常数，2.71828e为自然对数的底数）。（I）当1k时，求函数fx的单调区间；（II）求证：存在k，使得函数2yfx在0,2内有三个零点。解：（I）函数fx的定义域为0,，2221xxxekxxeekkfxxxxx，……………………………………2分由1,0kx可得0xek，所以当0,1x时，0fx；当1,x时，0fx，…………………4分故fx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；………………………5……………10分9分（II）由（I）知，（1）当1k时，函数fx在0,1内单调递减，在1,2内单调递增，故yfx与2y在0,2内最多2个交点，即函数2yfx在0,2内最多2零点；…………………………………………6分（2）当1k时，令0ln()xxekkexk，令ln()1kke，（i）当1ek时，有ln()1k，易知当0,ln()xk或1,2x时，0fx；当ln(),1xk时，0fx故fx在0,2内有极大值ln()fk，极小值112feke，……………7分又当0x时，lnxekfxkxx，且112feke，故要使函数2yfx在0,2内有三个零点，只需存在(,1)ke，使得ln()2(2)2fkf………………………………9分而2ln()ln()ln(ln())ln(ln())2ln()ln()ln()kkekfkkkkkkekk，设2ln()(1)xgxxeex，有210egee，210ge故存在0(,1)xe，使得00gx，即存在0(,1)ke，使得020ln()kke又易知当0kk时，有22f，故存在0kk