数学选修2-2第三章

3.1数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的概念1．复数的概念及代数表示(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.(2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．2．复数的分类(1)复数a＋bi(a，b∈R)实数b＝0，虚数b≠0纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0.(2)集合表示：(右图)3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.1．复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？提示：不一定．只有当m∈R，n∈R时，m，n才是该复数的实部、虚部．2．3＋2i3＋i正确吗？提示：不正确．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．3．若(a－2)＋bi0，则实数a，b满足什么条件？提示：b＝0，a2.考点一复数的分类实数x分别取什么值时，复数z＝x2－x－6x＋3＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[自主解答](1)当x满足x2－2x－15＝0，x＋3≠0，即x＝5时，z是实数．(2)当x满足x2－2x－15≠0，x＋3≠0，即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足x2－x－6x＋3＝0，x2－2x－15≠0，即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．——————————————————判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．1．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)若z为实数，则m2＋2m＋10，m2＋3m＋2＝0，即m≠－1，m＝－2或m＝－1，解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．(2)若z是虚数，则m2＋2m＋10，m2＋3m＋2≠0，即m≠－1，m≠－2且m≠－1，解得m≠－2且m≠－1.∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)若z为纯虚数，则lgm2＋2m＋1＝0，m2＋3m＋2≠0，即m2＋2m＋1＝1，m2＋3m＋2≠0，即m＝0或m＝－2，m≠－1且m≠－2.解得m＝0.∴当m＝0时，z为纯虚数．考点二复数的概念下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④实数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[自主解答]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．故①不正确；②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件．故②不正确；③若a＝0，则ai不是纯虚数，即实数集中的0在纯虚数集中没有对应元素，故③不正确；④由实数集、虚数集、复数集之间的关系知④正确．[答案]1——————————————————(1)复数写成代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)后，才可以确定实部、虚部．(2)两个复数不全是实数，就不能比较大小．2．下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②复数z＝0的实数和虚部均为0；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A．①B．②④C．②③D．③④解析：在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，则x2－1＋(x2＋3x＋2)i＝0为实数，故③错误；②、④正确．答案：B考点三复数相等根据下列条件，分别求实数x，y的值．(1)x2－y2＋2xyi＝2i；(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.[自主解答](1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R，∴x2－y2＝0，2xy＝2，解得x＝1，y＝1，或x＝－1，y＝－1.(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，∴2x－1＝y，1＝－3－y，解得x＝52，y＝4.——————————————————复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．3．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且x，y满足2x＋y＋xi＝8＋(1＋y)i，求复数z.解：∵2x＋y＋xi＝8＋(1＋y)i，x，y∈R，∴2x＋y＝8，x＝1＋y，即x＋y＝3，x－y＝1，解得x＝2，y＝1.∴z＝2＋i.【解题高手】【妙解题】若关于x的方程x2－2m＋(x2－m－1)i＝0有实根，求实数m的值和方程的实根．[巧思]因为方程有实根，所以只要设出实根代入方程，就可把问题转化为复数相等求参数的问题．[妙解]设方程的实根为x0，代入方程得x20－2m＋(x20－m－1)i＝0，根据复数相等的条件，可得x20－2m＝0，x20－m－1＝0，解得m＝1，x0＝±2.∴m＝1，方程的实根为x＝±2.1．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为a＝0，b＝0时，a＋bi＝0，所以a＝0时，a＋bi不一定为纯虚数，当a＋bi为纯虚数时，a＝0.答案：B2．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是()A．A∪B＝CB．A＝BC．A∩(∁SB)＝∅D．(∁SA)∪(∁SB)＝C解析：集合C、A、B的关系如图，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝C正确．答案：D3．若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为()A．1B．1或－4C．－4D．0或－4解析：由复数相等的条件得4－3a＝a2，－a2＝4a，∴a＝－4.答案：C4．复数(1－2)i的实部为________．解析：∵复数(1－2)i＝0＋(1－2)i，∴实部为0.答案：05．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________．解析：由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而m2－3m＝4，m＝5m＋4解得m＝－1.答案：－16．已知m∈R，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝12－4i?解：(1)∵z∈R，∴m2＋2m－3＝0，m－1≠0，即m＝1或m＝－3，m≠1.∴当m＝－3时，z∈R.(2)∵z是虚数，∴m2＋2m－3≠0，m－1≠0，即m≠1且m≠－3，m≠1.∴当m≠1且m≠－3时，z是虚数．(3)∵z是纯虚数，∴m2＋2m－3≠0，mm＋2m－1＝0，即m≠1且m≠－3，m＝0或m＝－2，∴当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数．(4)∵z＝12－4i，∴mm＋2m－1＝12，m2＋2m－3＝－4，即m＝－1或－12，m＝－1.∴m＝－1时，z＝12－4i.一、选择题1．下列各数中，纯虚数的个数是()3＋7，23i,0i,8＋3i，(2＋3)i,0.618A．0B．1C．2D．3解析：根据纯虚数的定义知，23i，(2＋3)i是纯虚数．答案：C2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1解析：由已知得x2－1＝0，x－1≠0，∴x＝－1.答案：A3．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是()A．3－3iB．3＋iC．－2＋2iD.2＋2i解析：3i－2的虚部为3,3i2＋2i的实部为－3，所以所求的复数为3－3i.答案：A4．若(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i(x，y∈R)，则x，y的值分别为()A．1,2B．2,1C．－1,2D．－2,1解析：(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i⇔7－3x＝2y，3y＝2x＋2⇒x＝1，y＝2.即x，y的值分别为1,2.答案：A5．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为()A．－1或6B．－1或4C．－1D．4解析：由M∩N＝{3}，知m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，∴m2－3m－1＝3，m2－5m－6＝0，解得m＝－1.答案：C二、填空题6．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．解析：若复数为纯虚数，则有|a－1|－1≠0，a2－a－2＝0，即a≠0且a≠2，a＝2或a＝－1，∴a＝－1.故复数不是纯虚数时a≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)7．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)1，则实数x的值(或取值范围)是________．解析：由题意知log2x2＋2x＋1＝0，log2x2－3x－21.解得x＝－2.答案：－28．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，则实数x、y的值分别为________、________.解析：由复数相等的充要条件知2x－1＝x－y，y＋1＝－x－y，解得x＝3，y＝－2.答案：3－2三、解答题9．已知关于x，y的方程组x＋32＋2y＋1i＝y＋4xi，2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i有实数解，求实数a，b的值．解：设(x0，y0)是方程组的实数解，则由已知及复数相等的意义得x0＋32＝y0，①2y0＋1＝4x0，②2x0＋ay0＝9，③－4x0－y0＋b＝－8，④由①②得x0＝52，y0＝4，代入③④得a＝1，b＝2.10．已知复数z＝a2－7a＋6a2－1＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当z为实数时，有a2－5a－6＝0，a2－1≠0，所以a＝－1或a＝6，a≠±1.所以当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，有a2－5a－6≠0，a2－1≠0，所以a≠－1且a≠6，a≠±1.即a≠±1且a≠6.所以当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，有a2－5a－6≠0，a2－7a＋6a2－1＝0.所以a≠－1且a≠6，a＝6.所以不存在实数a使得z为纯虚数．3．1.2复数的几何意义1．复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．1．复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?提示：复平面的虚轴上的单位长度是1，而不是i.2．原点是实轴与虚轴的公共点吗？提示：是．3．若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？提示：a满足a＋10，a－10，即－1a1.考点一复数的几何意义当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．[自主解答](1)要使点位于第四象限，需m2－8m＋15＞0，m2＋3m－28＜0，∴m＜3或m＞5，－7＜m＜4，解得－7m3.∴当－7＜m＜3时复数z对应的点在第四象限．(2)要使点位于x轴负半轴上，需m2－8m＋15