补充材料：空间向量在立体几何解题中的应用讲座(教师)

戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师1空间向量在立体几何解题中的应用一、空间向量的基础知识1．空间向量的坐标运算(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(i，j，k按右手系排列)建立坐标系，坐标轴正方向与i，j，k方向相同．空间一点P的坐标的确定可以按如下方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面)，分别与坐标轴交于A、B、C三点，|x|=OA，|y|=OB，|z|=OC，当OA与i方向相同时，x0，反之x0．同理确定y、z．点P的坐标与OP坐标相同．(2)向量的直角坐标运算设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；a·b=a1b1+a2b2+a3b3，a∥ba1=b1，a2=b2，a3=b3(R)．或312123aaabbb，a⊥ba1b1+a2b2+a3b3=0．(3)夹角和距离公式①夹角公式cosa，b=112233222222123123abababaaabbb．②距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|=222212121()()()xxyyzz．③定比分点公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则若M分AB为定比(≠-1)，则M的坐标为x=121xx，y=121yy，z=121zz，戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师2特别地，当=1即M为中点时得中点坐标公式：x=122xx，y=122yy，z=122zz．由中点公式，可得以A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)为顶点的三角形重心公式：x=1233xxx，y=1233yyy，z=1233zzz．2．平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a⊥．平面的法向量：如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量．一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反．一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题．推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n=(x，y，z)[或n=(x，y，1)或n=(x，1，z)，或n=(1，y，z)]，在平面内任选定两个不共线的向量a，b．由n⊥，得n·a=0且n·b=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到n．例1．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量n和单位法向量n0．分析：建立空间直角坐标系，如图1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，得1DA=(1，0，1)，1DC=(0，1，1)．设平面A1C1D的法向量n=(x，y，1)．由n⊥面A1C1D，得n⊥1DA，n⊥1DC．有(,,1)(1,0,1)0(,,1)(0,1,1)0xyxy，得11xy．∴n=(-1，-1，1)，n0=||nn=(1,1,1)333(,,)333111．zA1yxAC1BCD1B1D图1戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师3二、空间向量在立体几何解题中的应用(一)空间角1．异面直线所成的角设点A，B直线a，C，D直线b，构造向量AB，CD．cosAB，CD=||||ABCDABCD，AB，CD所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角．例2．在例1中，设AC∩BD=O，求异面直线D1O，DC1所成的角的余弦值．分析：1DO=(12，12，-1)，1DC=(0，1，1)．cos1DO，1DC=11111326||||322DODCDODC，∴异面直线D1O，DC1所成的角为arccos36．2．线面所成的角如图，AB为平面的斜线，n为平面的法向量，如果AB与n之间所成的角为锐角，则斜线AB与平面之间所成的角=2-．即利用向量AB与n求出的是角，实际上所求的角是．若为锐角，则=2-，sin=cos；若为钝角，则=2-(-)=-2，sin=-cos．总之有，sin=|cosAB，n|=||||||ABABnn．nBA戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师4例3.在例1中，设E、F分别为C1D1、B1C1的中点，(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求A1D与平面EFBD所成的角．分析：(1)∵E(0，12，1)，F(12，1，1)，DB=(1，1，0)，EF=(12，12，0)，又DB=2EF，∴DB∥EF，故E、F、B、D共面．(2)设平面EFBD的法向量n=(x，y，1)．得DE=(0，12，1)，1DA=(1，0，1)，∵n⊥面EFBD，得n⊥DB，n⊥DE．有(,,1)(1,1,0)01(,,1)(0,,1)02xyxy，得22xy，∴n=(2，-2，1)，∴sin=11||322||||23DADAnn，即=4．3．二面角的求法二面角—l—，平面的法向量m，平面的法向量n．则二面角—l—的平面角=m，n．所以，cosm，n=||||mnmn．若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则m，n为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则m，n为二面角的平面角．lmnzxBA1yEFB1C1D1DCA图2戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师5例4.在例1中，求二面角D1—AC—D的大小的余弦值．分析：易知，平面ACD1的法向量是n1=(1，1，1)，平面DAC的法向量是n2=(0，0，1)，设二面角D1—AC—D的大小为，则cos=1212(1,1,1)(0,0,1)3||||33nnnn，得=arcsin33．(二)空间距离1．点到面的距离设A是平面外一点，AB是的一条斜线，交平面于点B，而n是平面的法向量，那么向量BA在n方向上的正射影长就是点A到平面的距离h，所以h=|||||cos,|||BABABAnnn例5.例1中，设G、H分别是A1B1、CD的中点，求点B到截面AGC1H的距离．点到面的距离线到面的距离线到线的距离面到面的距离ABhnzA1yxAC1BCD1B1D图1zA1yxAC1BCD1B1D图1戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师6ABCDnab图3分析：∵A(1，0，0)，H(0，12，0)，G(1，12，1)，∴AG=(0，12，1)，AH=(-1，12，0)．设面AGC1H的法向量为n=(1，，)，则有：n·AG=0，n·AH=0，∴102211102，∴n=(1，2，-1)，又AB=(0，1，0)，所以点B到截面AGC1H的距离为263||||16ABABnn．练习：在例1中，求点A1到平面ACD1的距离．解析：平面ACD1的单位法向量n0=(33，33，33)，又1AA=(0，0，1)，设点A1到平面ACD1的距离为d，则d=|1AA·n0|=|(0，0，1)·(33，33，33)|=33．所以，点A1到平面ACD1的距离为33．2．异面直线间的距离如图3，若CD是异面直线a、b的公垂线段，A、B分别为a、b上的任意两点．令向量n⊥a，n⊥b，则n∥CD．∵AB=AC+CD+DB，∴ABn=ACn+CDn+DBn，∴ABn=CDn，∴|ABn|=|CD||n|，∴|CD|=||||ABnn．∴两异面直线a、b间的距离为：d=||||ABnn．戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师7ABCDOSxyz图4其中n与a、b均垂直(即a，b的公垂向量)，A、B分别为两异面直线上的任意两点．另外：假设异面直线a、b，平移直线a至a′且交b于点A，那么直线a′和b确定平面，且直线a∥，设n是平面的法向量，那么n⊥a，n⊥b．所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平面的距离．例6．在例1中，求直线DA1和AC间的距离．分析：AC=(-1，1，0)，1DA=(1，0，1)．设DA1和AC公垂线段上的向量为n=(x，y，z)，由100ACDAnn，可取n=(1，1，-1)，又1AA=(0，0，1)，所以点A到平面A1C1D的距离为h=1||3||3AAnn，即直线DA1和AC间的距离为33．练习．如图4，正四棱锥S—ABCD的高SO=2，底边长AB=2，求异面直线BD和SC之间的距离．分析：建立如图所示的直角坐标系，则A(22，-22，0)，B(22，22，0)，C(-22，22，0)，D(-22，-22，0)，S(0，0，2)．∴DB=(2，2，0)，CS=(22，-22，2)．令向量n=(x，y，1)，且n⊥DB，n⊥CS，则00DBCSnn，∴(,,1)(2,2,0)022(,,1)(,,2)022xyxy，0220xyxy，∴22xy，戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师8∴n=(-2，2，1)．∴异面直线BD和SC之间的距离为：d=22222|(,,0)(2,2,1)||||110|2522||5|(2,2,1)|(2)(2)1OCnn．例7．长方体ABCD—A1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，求(1)异面直线D1F与B1E所成角大小的余弦值；(2)二面角D1—AE—D大小的余弦值；(3)异面直线B1E与D1F的距离．分析：建立空间直角坐标系A－BDA1，则(1)1DF=(2，0，-3)，1BE=(0，2，-6)，cos1DF，1BE=1111189130130||||1340DFBEDFBE，∴异面直线D1F与B1E所成的角为arccos9130130．(2)显然平面AED的一个法向量为1AA=(0，0，6)，设平面AED1的一个法向量为n=(x，y，1)，且n⊥AE，n⊥1AD，则100AEADnn，AE=(2，2，0)，1AD=(0，4，6)，∴(,,1)(2,2,0)0(,,1)(0,4,6)0xyxy，220460xyy，∴3232xy，∴n=(32，-32，1)．cos1AA，n=1162211||||611/2AAAAnn，得=arccos2211．zyxFCBEAA1B1C1D1D戴氏教育簇桥校区空间向量在立体几何解题中的应用授课老师:唐老师9∴二面角D1—AE—D的大小为arccos2211．(3)令向量m=(x，y，1)，且m⊥1BE，m⊥1DF，则1100BEDFmm，∴(,,1)(0,2,6)0(,,1)(2,0,3)0xyxy，260230yx，∴323xy，∴m=(32，3，1)．∴异面直线B1E与D1F之间的距离为：d=3|(0,2,3)(,3,1)|||91823||7/27|(,3,1)|2EFmm．3．线面距离直线a与平面平行时，直线上任意一点A到平面的距离就是直线a与平面之间的距离．其求法与点到面的距离求法相同．例8．在例1中，设P、Q、R分别是A1C1、A1D和B1A上任一