数学归纳法练习题

2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1．用数学归纳法证明“2nn2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()．A．2B．3C．5D．6解析当n取1、2、3、4时2nn2＋1不成立，当n＝5时，25＝3252＋1＝26，第一个能使2nn2＋1的n值为5，故选C.答案C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋3n＋42(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是()．A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案D3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用数学归纳法证明：11×2＋13×4＋…＋12n－1·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即11×2＋13×4＋…＋12k－1·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，11×2＋13×4＋…＋12k－1·2k＋12k＋12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋1k＋1＋k＋1k＋1＋k＋1.即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为()．A．2k＋1B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________．解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)．答案2k＋211．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＝nn＋12n＋16(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×1＋1×2×1＋16＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝kk＋12k＋16那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝kk＋12k＋16＋(k＋1)2＝kk＋12k＋1＋6k＋126＝k＋12k2＋7k＋66＝k＋1k＋22k＋36＝k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1]6，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{an}(n∈N*)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋1an，用数学归纳法证明：an＝n－n－1.证明(1)当n＝1时．a1＝S1＝12a1＋1a1，∴a21＝1(an0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝k－k－1.当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak＋1＋1ak＋1－12ak＋1ak＝12ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12ak＋1＋1ak＋1－k∴a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，解得ak＋1＝k＋1－k(an0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有an＝n－n－1.