2019届湖北省武汉市高中毕业生二月调研测试数学(理)试题(解析版)

第1页共23页2019届湖北省武汉市高中毕业生二月调研测试数学（理）试题一、单选题1．已知复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将原等式变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.【详解】因为复数满足，所以，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再由交集的定义可得结果.【详解】因为，且，，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是第2页共23页将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.3．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列的公差（）A．2B．C．3D．4【答案】C【解析】【详解】因为等差数列的前项和为，且，所以，解得，故选C．【点睛】本题主要等差数列的前项和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.4．已知双曲线的渐近线方程为，则（）A．B．C．D．12【答案】A【解析】由双曲线的渐近线方程为，结合渐近线方程为，从而可得结果.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，又渐近线方程为，所以，故选A．【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，以及双曲线的渐近线，属于基础题.若双曲线方程为，则渐近线方程为.第3页共23页5．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．5B．12C．27D．58【答案】C【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，退出循环，输出，故选C．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）第4页共23页A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，由三视图中数据，利用锥体的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径，高，所以该几何体的体积为：，故选B．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图，重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7．已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】列举出中任取3个球的事件数为20，其中恰有3种颜色或1种颜色的事件数为7，则恰有两种颜色的事件数为13，利用古典概型概率公式求解即可.【详解】设2个红球编号为：1、2；3个白球编号为：；1个蓝球为,任取3个球，可能有：第5页共23页，，，共20种，3种颜色的有：，共6种只有1种颜色的有：，共1种，所以，所求概率为.故选D.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.8．在中，为线段的中点，为线段垂直平分线上任一异于的点，则（）A．B．C．D．7【答案】A【解析】利用勾股定理求得，利用向量垂直的性质可得，利用平面向量运算的平行四边形法则与三角形法则，可得，从而可得结果.【详解】第6页共23页由，得，，由勾股定理，得，因为为线段垂直平分线上任一异于的点，所以，可得，故选A.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及数量积公式、向量的夹角，属于中档题．向量的几何运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．9．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（）A．B．1C．2D．4【答案】C【解析】由可得，利用可得结果.【详解】当时，，因为函数在区间上单调递增，正弦函数在上递增，第7页共23页所以可得，解得，即的最大值为2，故选C．【点睛】本题主要考查正弦函数单调性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.10．已知为抛物线上两点，为坐标原点，且，则的最小值为（）A．B．C．8D．【答案】C【解析】设直线为：，直线为：，求得的坐标，利用两点间距离公式可得，利用基本不等式可得结果.【详解】设直线为：，因为，所以，直线为：，，得：，同理可得：，所以，，当且仅当时，取等号，最小值为8，故选C.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11．若满足约束条件，则的取值范围为（）第8页共23页A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，作出可行域，的最优解在平行四边形的4个边上，分4种情况讨论，结合二次函数的性质，分别求出的范围，综合可得结果.【详解】由，得，作可行域如图所示，其中，的最优解在平行四边形的4个边上,当位于线段时，，因为，所以；当位于线段时，；当位于线段时，；当位于线段时，第9页共23页．综上可知，的取值范围是，故选D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查非线性目标函数的最值，考查了二次函数的性质，意在考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.分类讨论思想的常见类型：⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.12．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原不等式化为，函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，要使得恒成立，只需恒成立，即恒成立，利用导数求出的最小值即可得结果.【详解】函数的定义域为，由，得，第10页共23页函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，所以要使得恒成立，只需恒成立，即恒成立，设，则，在上递减，在递增，可知当时，取得最小值，所以，又因为，所以的取值范围是，故选B．【点睛】本题主要考查反函数的性质、不等式恒成立问题以及利用导数求函数的最值，属于难题.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、填空题13．展开式中项的系数为______________．【答案】【解析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于6或7，求出的值，即可求得展开式中与的项的系数，从而可得结果.【详解】的展开式的通项公式为，令的指数等于6或7，可得的值为1或0，所以展开式中与的项的系数分别为与，所以展开式中含的项为，故展开式中项的系数为，故答第11页共23页案为．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．函数在点处的切线方程为，则实数的值为______________．【答案】【解析】求出时，的导函数的值，令其等于1，解方程即可得结果.【详解】因为，所以，当时，，因为函数在点处的切线方程为，所以解得，故答案为．【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求切点即解方程；(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.15．已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．【答案】【解析】利用归纳推理，推猜出，再用数学归纳法证明即可.【详解】第12页共23页当时，；当时，；当时，；当时，，猜想得，故，下面用数学归纳法证明：②，满足，②假设时，结论成立，即，可得，则，，也满足，结合①②可知，，故答案为．【点睛】本题本题主要考查归纳推理与数学归纳法的应用，属于难题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.16．在棱长为1的正方体中，点关于平面的对称点为，则到平面的距离为______________．【答案】【解析】将正方体再叠加一个正方体，构成正四棱柱，则平面即为平面，连接与平面，平面交于两点，则点即为点关于平面的对称点为，利用正方体的性质可得结果.【详解】第13页共23页将正方体再叠加一个正方体，构成如图所示的正四棱柱，则平面即为平面，连接与平面，平面交于两点，则平面平面，且平面，平面，且两点是线段的两个三等分点，所以点即为点关于平面的对称点为，由正方体的性质可知是正三角形的中心，也是重心，所以到平面的距离等于到平面的距离的三分之一为，点到平面的距离为，即到平面的距离为，故答案为．【点睛】本题主要考查正方体的性质以及割补法的应用，考查了空间想象能力以及数形结合思想的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于难题.三、解答题第14页共23页17．在中，角的对边分别为．已知．（1）求；（2）求的面积．【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由，可得，利用正弦定理边角互化，结合余弦定理可得代入，即可得结果；（2）在中，由余弦定理得从而可得，进而利用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）由，知，利用正弦定理边角互化,由余弦定理可得，而，，即，而．（2）在中，由余弦定理得：，所以的面积．【点睛】解三角形时，可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．如图，已知四边形为梯形，为矩形，平面平面，又．第15页共23页（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由为矩形，结合面面垂直的性质可得平面，又，则可以以为原点建立空间直角坐标系，求出的坐标，证明即可；（2）利用向量垂直数量积为零列方程组，分别求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）为矩形，且平面平面，平面，又，所以可以以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，．（2），设平面的法向量为，则，令，得．设平面的法向量为，则，令，得．，第16页共23页因为二面角为锐角，所