第9章-线性系统的状态空间分析与综合

1第九章状态空间分析方法2第9章状态空间分析方法9-1状态空间方法基础9-2线性系统的可控性和可观性9-3线性系统的线性变换9-4线性定常系统地反馈结构及观测器9-5李雅普诺夫第二方法3经典控制理论、现代控制理论比较经典控制理论(50年代前)现代控制理论(50年代后)研究对象单输入单输出的线性定常系统可以比较复杂数学模型传递函数(输入、输出描述)状态方程(可描述内部行为)数学基础运算微积、复变函数线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多,经验起很大作用。主要在复数域进行。设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。4基本要求①掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。②熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。③正确理解线性变换,熟练掌握线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。④正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。5⑤能将可控系统化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。⑥熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统,可进行闭环极点配置和观测器极点配置。⑦正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法,能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。基本要求6状态空间方法基础•在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。•在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。7状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。一、状态空间的基本概念已知时状态，时的输入，可确定时任一变量的运动状况。0t0tt0tt状态变量：确定动力学系统状态的最小一组变量。)(,),(1txtxn812nxtxtXtxt状态空间：由张成的n维向量空间。)(tX状态向量：如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n个状态变量，那么状态向量定义为X(t)对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。910例•设一RLC网络如图所示。回路方程为()1()()()ditetRitLitdtdtC2()()xtitdt)()(1titx选择状态变量1111211RxxxeLLCL则有21xx11010RuLCLLxx写成21)()(xCtcty10Cx输出1211100RLLuLCxx写成)()(1titx21()()xtitdtC若选另一组状态变量11211()RxxxetLLL121xcx则有13uyayayaynnnnn02211若给出(t=0)时的初值、、…、和时就可确定系统的行为。0,ttu)0(y)0(y)0()1(ny121,,,nnyxyxyx单输入-单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式1412231nnxxxxxx01121nnnxaxaxaxu15或写成xAxBx12012101000001000,,00010nnxxxaaaaxAB16系统结构图如图所示17例222yyyu输入为u，输出为y。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统取状态变量12,xyxy12222122xxxxxu1122220102xxuxx1210xyx状态方程为解：18线性定常系统状态方程的解式中均为列向量。)2,1,0(ibixAx齐次向量微分方程kktbtbtbbtx2210)(方程的解为1、齐次状态方程的解19)(210121kkkktbtbbAtkbtbb可得()txxAx代入方程将方程两边系数必相等,即102210332001122113321kkbAbbAbAbbAbAbbAbk！200)0(bx定义022)121()(xtAktAAtItxkk！！kKAttAktAAtIe！！12122因此，齐次状态方程的解为将t=0代入解中得Ate为n×n矩阵，称矩阵指数。21()()xtAxt)()(0sAxxssx于是齐次状态方程的解为2、用拉氏变换法求解0)(xetxAt01)()(xAsIsx22011])[()(xAsILtx])[(11AsILeAt122311()[][]AtkkkksIALeLIAtAtkIAAAssss！拉氏反变换后得到23最终得到与前一种解法所得结果一致。AtetAtexp式中()(0)()(0)Atxtextx24状态转移矩阵具有以下性质：I01)(.)()(.tt21)()()(.020112tttttt3)()]([.ktt4k25例11220100xxxx设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。解：2211()2!!AtkkteIAtAtAtk230100,00001001()010001nAAAAttt求状态转移矩阵为其中2611221()(0)01()(0)txtxxtx可以写出方程解为x3210x设系统状态方程为试求状态方程的解。2s21s12s21s22s11s12s11s2)2s)(1s(s)2s)(1s(2)2s)(1s(1)2s)(1s(3ss213s)2s)(1s(1AsI)AsI(adj)AsI(3s21s)AsI(1解例27状态方程之解为t2tt2tt2tt2t11Ate2ee2e2eeee2])AsI[(Le)0(x)0(xe2ee2e2eeee2)0(xe)t(x21t2tt2tt2tt2tAt28改写为)()()(tButAxtx用左乘等式两边Ate2非齐次状态方程的解非齐次方程)()()(tButAxtx)()]([)]()([tBuetxedtdtAxtxeAtAtAt积分上式得dBuextxetAAt)()0()(0用乘上式两边Ate29dBuexetxttAAt)()0()(0)(讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法0()()(0)()()txttxtBud则式可以写成sBusAxxssx)()(0sBuAsIxAsIsx101)()()(拉氏反变换得)]()[()0(])[()(1111sBuAsILxAsILtx])[(11AsILeAt由于ttAdBuesBuAsIL0)(11)(])[(由卷积定理有30ttAdBuesBuAsIL0)(11)(])[(tAAtdtBuexetx0)()0()(ttAAtdBuexetx0)()()0()(因此由于最后得到31例uxx103210求下述系统状态的时间响应控制量u为单位阶跃函数。解：)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3][1ssssssssssAsI由112222()2222tttttttttLsIAeeeeeeee状态转移矩阵32tttttAeeeedtBue0225.05.0)(tttteeeexttx225.05.0)0()()(220.50.5()tttteextee若初始状态为零状态，则33)()()(sBUsAXssX四、传递函数矩阵BuAxx系统状态方程DuCxy输出方程拉氏变换为解出定义传递函数矩阵为)()()(1sBUAsIsX)(])([)(1sUDBAsICsYAsIAsIadjAsI)()(1DBAsICsG1)()(34所以特征方程为AsIDAsIBAsICadjDBAsIAsIadjCsG)()()(0||AsI设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。1112221122011002011001xxuxxuyxyx例35解：011010,,,0020101ABCD已知11111(2)()2102sssssIAoss1()()111010(2)010110211(2)102GsCsIABssssssss36例0100001061161Ab设系统的状态方程为解：系统的特征方程为3210||det01611606116||(1)(2)(3)0ssIAssssssIAsss特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。试求系统的特征方程和特征值。37五、动态方程的线性变换DuCxyBuAxxuDxCyuBxAxxPx1Pxx其中P是n×n矩阵1PAPA1CPCBPB38特征多项式AsIAsIPPAsIPPPAsIPPAsIPPAPsPPPAPsIAsI1111111)(特征多项式没有改变。39DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAsIPCPDPBPAPsPPCPDPBPAPsICPDBAsIC111111111111111)()(])([)()()(传递函数阵传递函数阵没有改变40例•系统进行坐标变换，其变换关系为•试求变换后系统的特征方程和特征值。112233111123149xxxxxx41解：根据题意求变换矩阵11111132.50.5123,34114911.50.5PPxPAPxPbu代入42132||(1)(2)(3)61160sIPAPssssss特征方程为特征值为-1，-2，-3，与上例结果相同。可得43线性