立体几何中夹角与距离的计算(绝对精品)

第三节立体几何中夹角与距离的计算一、求距离：1、点到平面的距离：①直接法：平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离，“一找二证三计算”；②等体积法：三棱锥换顶点等体积法。2、直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；3、平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。点到平面的距离平面到平面的距离直线到平面的距离二、求夹角1、两条异面直线所成的角：求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；2、直线和平面所成的角：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与它在平面内的射影之间的夹角；3、二面角：通常的作法有：①定义法：在二面角的棱上任取一点O（常指特殊点），过点O分别在两个半平面内作垂直于棱的射线OA和OB，则∠AOB即为所求二面角的平面角；②三垂线定理或逆定理：过一个半平面内一点P向另一个半平面作垂线PA，过点A向棱作垂线AB，连接PB，则∠PAB即为所求二面角的平面角；③自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．④射影面积法解之，cos＝SS，其中S为斜面面积，S′为射影面积，为斜面与射影面所成的二面角题型一：异面直线的夹角及二面角例1、如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=12A(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值题型二：点面距离例2、如题（19）图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，,22CSDSCSAD；E为BS的中点，2,3CEAS．求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角ECDA的大小．题型三：线面距离例3、如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，2BAD，2CDAD，四边形ABFE为平行四边形，FA平面ABCD，3,7FCED．求：（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；（Ⅱ）二面角FADE的平面角的正切值．题型四：线面夹角例4、如图3，在正三棱柱111ABCABC中，AB=4,17AA,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE1AE.（Ⅰ）证明：平面1ADE平面11ACCA（Ⅱ）求直线AD和平面1ADE所成角的正弦值题型五：点到面的距离例5、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求(1)中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离。D1C1B1A1DCBA